matlab中求雅克比矩阵的方法及cov函数的用法,协方差矩阵—Hessian矩阵—正定矩阵
MATLAB中jacobian是用来计算Jacobi矩阵的函数
syms r l f
x=r*cos(l)*cos(f);
y=r*cos(l)*sin(f);
z=r*sin(l);
J=jacobian([x;y;z],[r l f])
结果：
J =
[ cos(l)*cos(f), -r*sin(l)*cos(f), -r*cos(l)*sin(f)]
[ cos(l)*sin(f), -r*sin(l)*sin(f), r*cos(l)*cos(f)]
[ sin(l), r*cos(l), 0 ]
（扩展卡尔曼滤波算法）
１ 向量的方差与协方差矩阵
cov(x)
求向量x的方差。
cov(x)为一个数值，数值大小计算公式为S(x)。
cov(x,y)
求向量x与y的协方差矩阵。
cov(x,y)为2*2矩阵，
[S(x) C(x,y);
C(y,x) S(y);]
２ 矩阵协方差矩阵
cov(X)
求矩阵X的协方差矩阵。
diag(cov(X))得到每一个列向量的方差。
sqrt(diag(cov(X)))得到每一个列的标准差。
若Ｘ大小为MN，则cov(X) 大小为NN的矩阵。
cov(X) 的第(i,j)个元素等于X的第i列向量与第j列向量的方差，即C(Xi,Xj)。
cov(X,Y)
求矩阵X与Y的协方差矩阵。
若X大小为MN，Y为KP，则X，Y的大小必须满足MN=KP，即X，Y的元素个数相同。
此时，cov(X,Y) 等于cov([X(???? Y(????])和cov(X(????,Y(????)，即计算两个向量的协方差矩阵，得到的结果为2*2矩阵。
[S(X(????) C(X(????,Y(????);
C(Y(????,X(????) S(Y(????);]
可知，S(X) =C(X,X).
3 关于归一化的问题
在上述的S(X),C(X,Y)计算中，采用的归一化参数是1/(N-1) ,其中N是向量中元素的个数。而下面的调用形式采用的归一化参数是1/N。
对应的公式如下图所示。
cov(x,1)
求向量x的方差。计算方法如cov(x)，但归一化参数为1/N。
cov(x,y,1)
求向量x与y的协方差矩阵。计算方法如cov(x,y)，但归一化参数为1/N。
为区别对待
cov(x)又记作cov(x,0)
cov(x,y)又记作cov(x,y,0)
cov(X) 又记作cov(X,0)
cov(X,Y) 又记作cov(x,y,0)
对于归一化参数为1/(N-1)的情况，当N=1时，自动将参数调整为1/N