3月24 matlab函数polyfit(x,y,n)分析
yB_L1 = polyfit(y_L1_Pt(:,1),y_L1_Pt(:,2),3); %%使用最小二乘法对后向车道线方程进行拟合
p=polyfit(x,y,n)：最小二乘法计算拟合多项式系数。x，y为拟合数据向量，要求维度相同，n为拟合多项式次数。返回p向量保存多项式系数，由最高次向最低次排列。
y=polyval(p,x)：计算多项式的函数值。返回在x处多项式的值，p为多项式系数，元素按多项式降幂排序。
http://www.ece.northwestern.edu/local-apps/matlabhelp/techdoc/ref/polyfit.html
官方解法
https://ww2.mathworks.cn/help/matlab/ref/polyfit.html
- 使用中心化和缩放改善数值属性
[p,~,mu] = polyfit(T.year, T.pop, 5);
f = polyval(p,year,[],mu);
- 具有误差估计值的线性回归，将一个线性模型拟合到一组数据点并绘制结果，其中包含预测区间为 95% 的估计值。
x = 1:100;
y = -0.3*x + 2*randn(1,100);
[p,S] = polyfit(x,y,1);
%计算以 p 为系数的一次多项式在 x 中各点处的拟合值。将误差估计结构体指定为第三个输入，以便 polyval 计算标准误差的估计值。标准误差估计值在 delta 中返回。
[y_fit,delta] = polyval(p,x,S);
%绘制原始数据、线性拟合和 95% 预测区间 y±2Δ。
plot(x,y,'bo')
hold on
plot(x,y_fit,'r-')
plot(x,y_fit+2*delta,'m--',x,y_fit-2*delta,'m--')
title('Linear Fit of Data with 95% Prediction Interval')
legend('Data','Linear Fit','95% Prediction Interval')
算法
polyfit 使用 x 构造具有 n+1 列和 m = length(x) 行的 Vandermonde (范德蒙德(Vandermonde)方阵)矩阵 V 并生成线性方程组
其中 polyfit 使用 p = V\y 求解。由于 Vandermonde 矩阵中的列是向量 x 的幂，因此条件数 V 对于高阶拟合来说通常较大，生成一个奇异系数矩阵。在这些情况下，中心化和缩放可改善系统的数值属性以产生更可靠的拟合。
浅谈范德蒙德(Vandermonde)方阵的逆矩阵与拉格朗日(Lagrange)插值的关系以及快速傅里叶变换(FFT)中IDFT的原理
https://www.cnblogs.com/gzy-cjoier/p/9741950.html
polyfit是线性拟合而lsqcurvefit 是非线性拟合
https://www.ilovematlab.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=262388
%g = fittype('a*x.^2+b*x+c','independent', 'x')
%fy=fit(x,y,g)
function f=conf(a,x)
f=a(1)*x.^2+a(2)*x+a(3)
xev=lsqcurvefit(@conf,[0 0 0],x,y);
lsqcurvefit 和 polyfit的拟合算法不一样，拟合出的结果当然有可能不一样。
首先，lsqcurvefit 使用的是非线性最小二乘算法，本质上利用的是内部映射牛顿法来迭代搜索（见lsqcurvefit help文档里的算法部分），所以，它不是一次性算出来的多项式系数，而是多次数值迭代找到一个最小二乘意义上的解。另外，它的拟合结果还可能跟拟合时设定的初值有关，初值给得不好，结果也可能不一样。
其次，polyfit 可以看作线性最小二乘法拟合，因为polyfit函数算法描述部分是将x的不同次数构造范德蒙矩阵，然后用矩阵左除求出多项式系数（见help文档的算法部分），这是非常典型的线性最小二乘算法。它是一次性算出系数，无需任何迭代。所以，结果是确定性的（不依赖任何初值的设定），即只要输入数据相同，必然得到相同的拟合系数
至于 fit 函数，help 里没有对其算法原理有详细说明，不过可以看出，它支持很多种拟合算法，有自定义的函数，也有特定的参数，如：‘poly2’。这里poly2就是二次多项式拟合。你可以试试poly2，再看看跟polyfit有什么区别
函数性能
function dpolydengyaxuanzexing(n)
clc;
x=[238,258,278,298,318,338,358];
y1=[2.409,4.219,5.553,9.241,23.425,23.75,25.142];
y2=[3.060,5.270,9.421,13.423,25.909,31.125,31.833];
y3=[3.393,5.452,9.077,11.5,25.454,29.315,29.333];
y4=[3.803,5.381,7.078,9.667,25.3,28.5,28.666];
plot(x,y1,'gx')
hold on
plot(x,y2,'b*')
hold on
plot(x,y3,'r+')
hold on
plot(x,y4,'mo')
xlabel('temperature(K)');ylabel('adsorption capacity(mmol/g)');
p1=polyfit(x,y1,n);
p2=polyfit(x,y2,n);
p3=polyfit(x,y3,n);
p4=polyfit(x,y4,n);
y1=polyval(p1,x);
y2=polyval(p2,x);
y3=polyval(p3,x);
y4=polyval(p4,x);
plot(x,y1,'g-');
hold on
plot(x,y2,'b-')
hold on
plot(x,y3,'r-')
hold on
plot(x,y4,'m-')
legend('100kpa in MCM-41 without APTS','100kpa in MCM-41 with 15APTS',...
'100kpa in MCM-41 with 30APTS','100kpa in MCM-41 with 45APTS');
hold off
end
可以分别试试 interp1 spline csaps spap2 spaps 等函数
http://muchong.com/html/201011/2644558_2.html
function dpolydengyaxuanzexing
clc;
x=[238,258,278,298,318,338,358];
y1=[2.409,4.219,5.553,9.241,23.425,23.75,25.142];
y2=[3.060,5.270,9.421,13.423,25.909,31.125,31.833];
y3=[3.393,5.452,9.077,11.5,25.454,29.315,29.333];
y4=[3.803,5.381,7.078,9.667,25.3,28.5,28.666];
plot(x,y1,'gx')
hold on
plot(x,y2,'b*')
hold on
plot(x,y3,'r+')
hold on
plot(x,y4,'mo')
xlabel('temperature(K)');ylabel('adsorption capacity(mmol/g)');
yy1=fit(x',y1','smoothingspline');
yy2=fit(x',y2','smoothingspline');
yy3=fit(x',y3','smoothingspline');
yy4=fit(x',y4','smoothingspline');
plot(yy1,'g-');
hold on
plot(yy2,'b-')
hold on
plot(yy3,'r-')
hold on
plot(yy4,'m-')
legend('100kpa in MCM-41 without APTS','100kpa in MCM-41 with 15APTS',...
'100kpa in MCM-41 with 30APTS','100kpa in MCM-41 with 45APTS');
hold off
end
Year=[1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999];
Population=[5 10 20 30 40 50 60];
Year1=1625:2020;
Year2=2000:2020;
[P2 S2]=polyfit(Year,Population,3);
Population1=polyval(P2,Year1);
Population2=polyval(P2,Year2);
plot(Year,Population,'*',Year2,Population2,'X',Year1,Population1);
%这里的S2是误差的大小~