Python NumPy灰度图像的压缩原理讲解

灰度图像是对图像的颜色进行变换，如果要对图像进行压缩该怎么处理呢？

1、矩阵运算中有一个概念叫做奇异值和特征值。

设a为n阶矩阵，若存在常数λ及n维非零向量x，使得ax=λx，则称λ是矩阵a的特征值，x是a属于特征值λ的特征向量。

一个矩阵的一组特征向量是一组正交向量。

2、即特征向量被施以线性变换 a 只会使向量伸长或缩短而其方向不被改变。

特征分解（eigendecomposition），又称谱分解（spectral decomposition）是将矩阵分解为由其特征值和特征向量表示的矩阵之积的方法。

假如a是m * n阶矩阵，q=min(m,n)，a*a的q个非负特征值的算术平方根叫作a的奇异值。

特征值分解可以方便的提取矩阵的特征，但是前提是这个矩阵是一个方阵。如果是非方阵的情况下，就需要用到奇异值分解了。先看下奇异值分解的定义：

a=uσvt

其中a是目标要分解的m * n的矩阵，u是一个 m * m的方阵，σ 是一个m * n 的矩阵，其非对角线上的元素都是0。vtv^tvt是v的转置，也是一个n * n的矩阵。

奇异值跟特征值类似，在矩阵σ中也是从大到小排列，而且奇异值的减少特别的快，在很多情况下，前10%甚至1%的奇异值的和就占了全部的奇异值之和的99%以上了。也就是说，我们也可以用前r大的奇异值来近似描述矩阵。r是一个远小于m、n的数，这样就可以进行压缩矩阵。

通过奇异值分解，我们可以通过更加少量的数据来近似替代原矩阵。

要想使用奇异值分解svd可以直接调用linalg.svd 如下所示：

u, s, vt = linalg.svd(img_gray)

其中u是一个m * m矩阵，vt是一个n * n矩阵。

在上述的图像中，u是一个(80, 80)的矩阵，而vt是一个(170, 170) 的矩阵。而s是一个80的数组，s包含了img中的奇异值。

实例代码扩展：

import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt

from pil import image
from scipy import misc
def fix_contrast(image):
minimumcolor = np.amin(image)
maximumcolor = np.amax(image)

#avg = (minimumcolor - maximumcolor)/2 first attempt

avg = np.mean(image) #second attempt
colordownmatrix = image < avg # also tried
colorupmatrix = image > avg

#also tried: colorupmatrix = image > avg * 1.2
# and : colordownmatrix = image < avg* 0.3
image = image - minimumcolor*colordownmatrix
image = image + maximumcolor*colorupmatrix
lessthen0 = image<0
morethen255 = image>255
image[lessthen0] = 0
image[morethen255] = 255
return image

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