HDU1599 floyd最小环（无向图）问题

题目：杭州有N个景区，景区之间有一些双向的路来连接，现在8600想找一条旅游路线，这个路线从A点出发并且最后回到A点，假设经过的路线为V1,V2,…VK,V1,那么必须满足K>2,就是说至除了出发点以外至少要经过2个其他不同的景区，而且不能重复经过同一个景区。现在8600需要你帮他找一条这样的路线，并且花费越少越好。
Input
第一行是2个整数N和M（N <= 100, M <= 1000)，代表景区的个数和道路的条数。
接下来的M行里，每行包括3个整数a,b,c.代表a和b之间有一条通路，并且需要花费c元(c <= 100)。
Output
对于每个测试实例，如果能找到这样一条路线的话，输出花费的最小值。如果找不到的话，输出"It’s impossible.".

解析

我们先来简单解释一下floyd算法，时间复杂度为O（n^3）
dis[i][j]=min(dis[i][j],dis[i][k]+dis[k][j]);
有一个起点i，一个终点j，然后通过 中转点k来不断取小求得最短路径，
然后将数值存贮在dis数组（邻接矩阵）中。

重头戏
如何求最小环（无向图），首先无向图的环最少得有三个顶点，
我们就枚举i为起点，j为终点，k仍为中间节点。
肯定有很多小伙伴跟我一样，
dis[i][j]+a[i][k]+a[k][j]；
对上面这个式子很有疑惑 ；
为啥不能是dis[i][j]+dis[i][k]+dis[k][j] 呢？
大家可以看下图，
如果用了dis[i][j]+dis[i][k]+dis[k][j]；
当k=2时，此时dis[1][3]已经从inf松弛为1+1=2的距离。
结果是一个不成环的无向图输出的ans值却为4，很明显是错的。

然后来看一下这个式子dis[i][j]+a[i][k]+a[k][j]；
这里a数组存的是最初始的邻接矩阵，表示边权。
所以要算一个最小环的话，我们就枚举一个中间点k，然后模拟一波
ans=min（ans，i到j的距离+边i到k的距离+边j到k的距离）

具体代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=1e3+10;
const int inf=0x3f3f3f;
int a[maxn][maxn],dis[maxn][maxn];
int main()
{
	int n,m;
	while(scanf("%d %d",&n,&m)!=EOF)
	{
		for(int i=1;i<=n;i++)
			for(int j=1;j<=n;j++)
				a[i][j]=a[j][i]=dis[i][j]=dis[j][i]=inf;
		while(m--)
		{
			int u,v,w;
			scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
			if(w<dis[u][v])
				a[u][v]=a[v][u]=dis[u][v]=dis[v][u]=w;
		}
		int ans=inf;
		for(int k=1;k<=n;k++)
		{
			for(int i=1;i<k;i++)
				for(int j=i+1;j<k;j++)//这里得是i+1,防止重复
					ans=min(ans,dis[i][j]+a[i][k]+a[k][j]);
			for(int i=1;i<=n;i++)
				for(int j=1;j<=n;j++)
					dis[i][j]=min(dis[i][j],dis[i][k]+dis[k][j]);
		}
		if(ans==inf)puts("It's impossible.");
		else printf("%d\n",ans);
	}
	return 0;
}