二维空间点到直线垂足计算公式推导及Java实现——学习笔记

前言

简单的公式推导，大概是高中程度的知识了。不管以前学的好不好，很久不用的东西，一上手还是有点懵的。推导一遍也是为了加深记忆。

公式推导

首先我们知道直线上两点p1,p2：
$p_1:(x_1,y_1)$p1​:(x1​,y1​)$p_2:(x_2,y_2)$p2​:(x2​,y2​)
和直线外一点p3：
$p_3:(x_3,y_3)$p3​:(x3​,y3​)
现在我们要求p3在直线p1p2上的垂足p4：
$p_4:(x_4,y_4)$p4​:(x4​,y4​)
可知直线p1p2垂直于直线p3p4，根据向量垂直的关系我们可以知道：
$(x_1-x_2)(x_3-x_4)+(y_1-y_2)(y_3-y_4)=0\quad\quad(1)$(x1​−x2​)(x3​−x4​)+(y1​−y2​)(y3​−y4​)=0(1)
同时由于p1,p2,p4三点共线，可假设系数u使得:
$\begin{cases} \quad x_4=x_1+u(x_1-x_2)\\ \quad y_4=y_1+u(y_1-y_2) \end{cases}\quad\quad\quad(2)${x4​=x1​+u(x1​−x2​)y4​=y1​+u(y1​−y2​)​(2)
将式子（2）带入（1）中，可以解得：
$u=\frac{(x_1-x_2)(x_3-x_1)+(y_1-y_2)(y_3-y_1)} {(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}\quad(3)$u=(x1​−x2​)2+(y1​−y2​)2(x1​−x2​)(x3​−x1​)+(y1​−y2​)(y3​−y1​)​(3)
再将求得的u带回（2）中，就得到了垂足。

代码实现

private Point getFoot(Point p1,Point p2,Point p3){
        Point foot=new Point();
        
        float dx=p1.x-p2.x;
        float dy=p1.y-p2.y;
        
        float u=(p3.x-p1.x)*dx+(p3.y-p1.y)*dy;
        u/=dx*dx+dy*dy;
        
        foot.x=(int)(p1.x+u*dx);
        foot.y=(int)(p1.y+u*dy);
        
        return foot;
    }

代码很简单，不解释了，参照上面推导的式子（2）和式子（3）

画蛇添足

这里多提一点。实际运用中，有的时候需要的只是把点映射在一条线段上，这时会出现一种情况，就是我们计算得到的垂足p4不在线段p1p2上，此时我们需要把p4映射到线段的两个端点（即p1或p2）上。针对此情况修改代码：

private Point getFoot(Point p1,Point p2,Point p3){
        Point foot=new Point();

        float dx=p1.x-p2.x;
        float dy=p1.y-p2.y;

        float u=(p3.x-p1.x)*dx+(p3.y-p1.y)*dy;
        u/=dx*dx+dy*dy;

        foot.x=(int)(p1.x+u*dx);
        foot.y=(int)(p1.y+u*dy);

        float d=Math.abs((p1.x-p2.x)*(p1.x-p2.x)+(p1.y-p2.y)*(p1.x-p2.y));
        float d1=Math.abs((p1.x-foot.x)*(p1.x-foot.x)+(p1.y-foot.y)*(p1.x-foot.y));
        float d2=Math.abs((p2.x-foot.x)*(p2.x-foot.x)+(p2.y-foot.y)*(p2.x-foot.y));

        if(d1>d||d2>d){
            if (d1>d2)  return p2;
            else return p1;
        }

        return foot;
    }