集合论偏序关系的实际运用

一、偏序关系与偏序集

（一）、偏序关系：

 *定义：给定非空集合A，A≠∅，R关系是A集合上的二元关系，R⊆A×A ,如果R满足以下三个性质：*

1. 自反性: 关系图中所有顶点都有环
   （ a≤a，∀a∈P）；
2. 反对称性: 两个顶点之间有0或1个有向边
   （ ∀a，b∈P，若a≤b且b≤a，则a=b）；
3. 传递性: 前提 a → b , b → c 不成立为默认传递 ;
   前提 a → b , b → c 成立必须满足 a → c 存在 ;
   （ ∀a，b，c∈P，若a≤b且b≤c，则a≤c）；

满足上面三个性质则称 R 关系是 A 集合上的偏序关系 。

符号化表示：
（x,y）∈ R ⇔ xRy ⇔ x ≤ y
（x,y）有序对在偏序关系 R 中，则 x 与 y 之间有 R 关系 , x 小于等于 y 。

（二）、偏序集：

  *定义：≤ 关系是 A 集合上的偏序关系，则称集合 A 与偏序关系 ≤ 构成的有序对＜A，≤ ＞称为偏序集**

eg：

• 集合 A = { a , b } ；
• p（A）= { ∅ , {a} , {b} , {a,b}}；

二、偏序关系运用举例

设定运用场景：在评分标准不能准确标定而又需要进行排序的场合，这时将成员进行两两比较，确定两者之间的好坏关系，是较为容易且准确的一种方法。

因此在此场景采取“0-1”法进行比较，两两比较很麻烦，但这里用偏序关系的传递性可以减少比较次数，再用反对称性又可使评判再比赛过程中进行。

设六名参赛者为A1，A2，A3，A4，A5，A6，以下为评分表格：

表中Cij再实用中不需要，这里仅为叙述方便而编排。

当A2参赛结束时，立即与A1进行比较，谁更好些，若A2好一些，在表1的C21位置上填1，若A1好些，则在该位置上填0。
A3参赛后，依次与Al、A2比较谁好些，若好一些为1，差一些为0，并把这两个比较出来的数依次填在C31，C32的位置上。如此下去，直到全部选手参赛结束。

即 Cij = 1 当 Ai 比 Aj好时
0 当 Ai 比 Aj差时 （ j ＜ i ）

注意的是，当某一位选手比赛结束都要与先他参赛的每名选手比较面且给出谁好谁差的结论( 是 1 还是 0 )。
也可以利用偏序关系的传递性减少比较次数。当 Ai 比赛结束时与 A1 比较 : 若 Ai 比 Al强, Ci=1。A1 所在列中有0的地方如 Ck1-0 (k< 1) 则 Ail = I 如此例中 A5 比 A1 强C51=C31=0，C41=0 则必有 C53 = 1，C54=1 。下表是某位评判员所裁判的结果。

以 A5 行为例，说明 A5 比 A1 好，比 A2 差，比 A3 好，比 A4 好。

之后的工作就是对表二的整理，首先利用偏序关系的反对称性填充表格的上角，上表中虚线为对称轴，右上角各位置看它对称位置上的数（如 C12 看 C21 ），若对称位置上的数为1，则它为0，反则反之。
整理后如下图：

将各行各列的数加起来到“总分”列中，即为得分，要注意的时，这里不可能有两个相等的数，否则说明评判或填表有误。

把这个列上各数加起来填入这一列最后一格为总分和。总分和 = m ( m - 1 ) / 2 里 ( m为参赛选手的人数 ) 如本例中选手有 6 人，即 m = 6，那末 6 * ( 6 - 1 ) / 2 - 15 。

把表中各列中的数加起来,填入最后一行 ( 即总分行 ) 的相应位置上。分别为其所在列上相应选手的失分,以虚线为对称轴和其对称位置上的得分加起来应该等于 m-1 ( m为选手人数 ) ,减1是因为自己不与自己比较，这一行中各数和也等于m ( m - 1 ) / 2 ，表的最后一列是把各选手的得分转化为人们习惯的百分制,本例中用的是 40 ( m - 1 ) * 得分数 + 60,以避免出低于 60 分的情况，最后把所有评判员有效给出的各选手成绩相应加起来求平均成绩，按平均成绩高低排名次。不过，这时有可能出现并列名次。

***这里的例子借鉴了朱忻慈（池州师专数学系高讲 24700）先生的《偏序关系的一个应用》。

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