Python牛顿法求平方根 - 求任意方根

原理

求？的值，也就是求 a 开方的值。随机定一个点 x，可以算出点 x 处的导数 dy_dy = n ⋅ \cdot ⋅ x n − 1 ^{n-1} n−1，而点 x 处的导数可以近似的等于要求的点与 x 点的 Δ \Delta Δy / Δ \Delta Δx，从而可以算出 Δ \Delta Δx，x + Δ \Delta Δx 就是？的值；但是如果随机的 x 和要求的 ？ 相差比较大时，这个近似的导数值就会差别很大，所以需要多次迭代去让 x + Δ \Delta Δx 的值靠近？的真实值，越靠近，导数的近似误差就越小。

def root(a, n=2):
    y = lambda x: x ** n
    dy_dx = lambda x: n * x ** (n - 1)  # x点的导数y'
    dx = lambda x: (a - y(x)) / dy_dx(x)  # ∆x ≈ ∆y / y'

    x = 1  # 随机定的x点，也可以是其他数值
    for _ in range(10):  # 迭代次数
        x += dx(x)  # ? = x + ∆x， 再用更新后的值继续迭代逼近
    return x


if __name__ == '__main__':
    for i in range(1, 11):
        print('root(%d) = %.5f' % (i, root(i, n=3)))

输出：

root(1) = 1.00000
root(2) = 1.25992
root(3) = 1.44225
root(4) = 1.58740
root(5) = 1.70998
root(6) = 1.81712
root(7) = 1.91293
root(8) = 2.00000
root(9) = 2.08008
root(10) = 2.15443