Python二分法求平方根 - 求任意方根

如上图，开方函数 y = x 1 n y = x^\frac{1}{n} y=xn1​ 是幂函数，且在定义域内单调递增，当 n 为偶数时，定义域在 [0，+ ∞ \infty ∞)；当 n 为奇数时，定义域在（- ∞ \infty ∞，+ ∞ \infty ∞)

二分法原理：

以二分法求 2 \sqrt{2} 2 ​为例，1的平方等于1，2的平方等于4，4 > 2，因为函数单调递增，所以 2 \sqrt{2} 2 ​的值肯定是在（1，2）之间，然后取中间数1.5，而1.5的平方等于2.25，2.25 > 2，进一步缩小范围， 2 \sqrt{2} 2 ​的值肯定是在（1，1.5）之间，再取中间数1.25，1.25的平方等于1.5625，1.5625 < 2，则 2 \sqrt{2} 2 ​的值肯定是在（1.25，1.5）之间，依次类推就可以一步步的逼近真实值。

""" num:被开方的数  lower:区间更小的值, 这里初始值设置为0
    upper:区间更大的值   error: 允许的误差值   power: 开几次方根 """
def root(num, upper, lower=0, error=0.01, power=2):
    # 先用两个区间边界判断是否符合，省得递归，比方说求根号1的值，直接就可以得到1
    if abs(upper ** power - num) <= error:
        return upper
    if abs(lower ** power - num) <= error:
        return upper

    result = (lower + upper) / 2  # 取中间值
    if abs(result ** power - num) <= error:  # 如果中间值的次方在误差内，就可以返回结果了
        return result

    if result ** power > num:  # 如果中间值的次方不在误差内，根据结果缩小区间，递归
        return root(num, result, lower)
    else:
        return root(num, upper, result)


if __name__ == '__main__':
    for i in range(1, 11):
        # 这里暂时不考虑负数
        # 分数的开方的要比它本身小，使得结果不在区间中，没办法用二分法
        # 所以当i为分数时，取更大的值为1，当i不是分数时，取本身的值就可以了，因为本身的值的次方一定是大于等于本身的
        upper = max(i, 1)
        print('root(%d) = %.5f' % (i, root(i, upper)))

输出：

root(1) = 1.00000
root(2) = 1.41406
root(3) = 1.73438
root(4) = 2.00000
root(5) = 2.23633
root(6) = 2.44922
root(7) = 2.64551
root(8) = 2.82812
root(9) = 3.00146
root(10) = 3.16162