牛客网 - [牛客假日团队赛5]护城河(凸包)

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64bit IO Format: %lld

题目描述

为了防止口渴的食蚁兽进入他的农场，Farmer John决定在他的农场周围挖一条护城河。农场里一共有N(8<=N<=5,000)股泉水，并且，护城河总是笔直地连接在河道上的相邻的两股泉水。护城河必须能保护所有的泉水，也就是说，能包围所有的泉水。泉水一定在护城河的内部，或者恰好在河道上。当然，护城河构成一个封闭的环。
挖护城河是一项昂贵的工程，于是，节约的FJ希望护城河的总长度尽量小。请你写个程序计算一下，在满足需求的条件下，护城河的总长最小是多少。
所有泉水的坐标都在范围为(1..10,000,000,1..10,000,000)的整点上，一股泉水对应着一个唯一确定的坐标。并且，任意三股泉水都不在一条直线上。
以下是一幅包含20股泉水的地图，泉水用"*"表示：

...*-----------------*......
../..........*........\.....
./.....................\....
*......................*\...
|..........*........*....\..
|*........................\.
|..........................*
*..........................|
.\*........................|
..\.....................*..|
...\........*............*.|
....\..................*...*
.....\..*..........*....../.
......\................../..
.......*----------------*...
（请复制到记事本中用等宽字体查看）

图中的直线，为护城河的最优挖掘方案，即能围住所有泉水的最短路线。
路线从左上角起，经过泉水的坐标依次是：(18,0),(6,-6),(0,-5),(-3,-3),(-17,0),(-7,7),(0,4),(3,3)。绕行一周的路径总长为70.8700576850888(...)。答案只需要保留两位小数，于是输出是70.87。

输入描述

第1行: 一个整数，N
第2..N+1行: 每行包含2个用空格隔开的整数，x[i]和y[i]，即第i股泉水的位置坐标

输出描述

第1行: 输出一个数字，表示满足条件的护城河的最短长度。保留两位小数

输入

20
2 10
3 7
22 15
12 11
20 3
28 9
1 12
9 3
14 14
25 6
8 1
25 1
28 4
24 12
4 15
13 5
26 5
21 11
24 4
1 8

输出

70.87

解题思路

题意:护城河总是笔直地连接在河道上的相邻的两股泉水且能包围所有的泉水，问护城河的总长最小是多少。
思路:凸包。

Accepted Code:

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
struct edge {
    int x, y;
} p[5005], s[5005];
int top = 0;
double ans = 0;
edge operator - (const edge& a, const edge& b) {
    return (edge){a.x - b.x, a.y - b.y};
}
long long dis(edge a, edge b) {
    return (a.x - b.x) * (a.x - b.x) + (a.y - b.y) * (a.y - b.y);
}
long long operator * (const edge& a, const edge& b) {
    return a.x * b.y - a.y * b.x;
}
bool operator < (const edge& a, const edge& b) {
    long long x = (a - p[1]) * (b - p[1]);
    if (!x)
        return dis(p[1], a) < dis(p[1], b);
    else return x < 0;
}
int main() {
    int n;
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        scanf("%d%d", &p[i].x, &p[i].y);
    int t = 1;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        if (p[i].y < p[t].y || (p[i].y == p[t].y && p[i].x < p[t].x))
            t = i; //扫描一遍，找到起始点
    swap(p[1], p[t]);
    sort(p + 2, p + n + 1);
    s[++top] = p[1];
    s[++top] = p[2];
    for (int i = 3; i <= n; i++) {
        while (top >= 2 && (s[top] - s[top - 1]) * (p[i] - s[top - 1]) >= 0)
            top--;
        s[++top] = p[i];
    }
    s[top + 1] = p[1];
    for (int i = 1; i <= top; i++)
        ans += sqrt(dis(s[i], s[i + 1]));
    printf("%.2lf\n", ans);
    return 0;
}