筛质数

题目链接
题意：给定一个正整数n，请你求出1~n中质数的个数。
输入格式
共一行，包含整数n。
输出格式
共一行，包含一个整数，表示1~n中质数的个数。
数据范围
1≤n≤1e6
输入样例：
8
输出样例：
4
思路1 (朴素做法)：把1~n中2的倍数，3的倍数， 4的倍数……都删除，那么剩下的数就都是质数了。
代码实现： O(n * logn)

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
const int N = 1e6 + 5;
int n, x;
int primes[N], res;
bool st[N];

void get_primes(int n)
{
    for(int i = 2; i <= n; i ++){
        if(!st[i]){
           res ++ ;
        }
        for(int j = i + i; j <= n; j += i)
                st[j] = 1;
    }
}

int main()
{
    cin >> n;
    get_primes(n);
    cout << res << endl;
    return 0;
}

埃氏筛法：我们会发现4的倍数也是2的倍数，所有我们只需要把所有质数的倍数删除就好。
代码实现： O(n * loglogn)

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
const int N = 1e6 + 5;
int n, x;
int primes[N], res;
bool st[N];

void get_primes(int n)
{
    for(int i = 2; i <= n; i ++){
        if(!st[i]){
           res ++ ;
           for(int j = i + i; j <= n; j += i)
                st[j] = 1;
        }
    }
}

int main()
{
    cin >> n;
    get_primes(n);
    cout << res << endl;
    return 0;
}

当然这还可以优化一下，变成一个基本上线性的算法。
代码实现： O(n)

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
const int N = 1e6 + 5;
int n, x;
int primes[N], res;
bool st[N];

void get_primes(int n)
{
    for(int i = 2; i <= n; i ++){
        if(!st[i]) primes[res ++ ] = i;
        //这里不用加j <= cnt的限制条件，因为当i是合数的时候，primes[j]遇到i的最小因子就会停下来，当i是质数的时候，primes[j] = n / i后也会停下来
        for(int j = 0; primes[j] <= n / i; j ++){
            st[primes[j] * i] = 1;
            //primes[j]一定是i的最小质因子
            if(i % primes[j] == 0) break;
            //一定会筛掉所有合数，例如4会把它的最小质因子2筛掉
        }
    }
}

int main()
{
    cin >> n;
    get_primes(n);
    cout << res << endl;
    return 0;
}