欢迎您访问程序员文章站本站旨在为大家提供分享程序员计算机编程知识!
您现在的位置是: 首页  >  IT编程

树的直径【树的重心 / 树的质心】(填坑中)

程序员文章站 2022-03-27 17:10:38
定义:对于一棵树n个节点的无根树,找到一个点,将树变成以该点为根的有根树,而重心则是删除某节点 Node 之后能使得最大子树的结点数最小的节点。性质:  1.删除重心后所得的所有子树,节点数不超过原树的1/2,一棵树最多有两个相邻的重心;  2.树中所有节点到重心的距离之和最小,如果有两个重心,那么他们距离之和相等;  3.两个树通过一条边合并,新的重心在原树两个重心的路径上;......

 

定义:

对于一棵树n个节点的无根树,找到一个点,将树变成以该点为根的有根树,而重心则是删除某节点 Node 之后能使得最大子树的结点数最小的节点。

性质:

  1.删除重心后所得的所有子树,节点数不超过原树的1/2,一棵树最多有两个相邻的重心;

  2.树中所有节点到重心的距离之和最小,如果有两个重心,那么他们距离之和相等;

  3.两个树通过一条边合并,新的重心在原树两个重心的路径上;

  4.树删除或添加一个叶子节点,重心最多只移动一条边;

1)Balancing Act

题意:

 对于N个节点N-1条边相连接的树,问这棵树的重心和对应的最大子树的节点数为多少

题解:
 

#include <iostream>
#include <map>
#include <vector>
#include <queue>
#include <string>
#include <set>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <string>
#include <vector>
#include <map>
#include <set>
#include <list>
#include <deque>
#include <queue>
#include <stack>
#include <cstdlib>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <iomanip>
#pragma GCC optimize(2)
using namespace std;
const int inf=0x3f3f3f3f;
#define ll long long
#define ull unsigned long long
const int mod = 1e9+7;/// 998244353;
const int mxn = 2e4 +7;
const int N = 8e4 + 7 ;
int _ , n , m , t , k , ans , cnt , si ;
template <class T>
void rd(T &x){
    T flag = 1 ; x = 0 ; char ch = getchar() ;
    while(!isdigit(ch)) { if(ch=='-') flag = -1; ch = getchar(); }
    while(isdigit(ch)) { x = (x<<1) + (x<<3) + (ch^48); ch = getchar(); }
    x*=flag;
}
vector<int> G[mxn] ;
int deg[mxn] , mn_son = 0 , mn_node = 0 , head[mxn<<1] , to[mxn<<1] , nx[mxn<<1] ; 
void add(int u,int v) { to[cnt] = v , nx[cnt] = head[u] , head[u] = cnt++; }
void DFS(int x,int par)
{
    deg[x]++ ;
    int mx_son = 0 ;
    for(int i=head[x];~i;i=nx[i]){
        int v = to[i] ;
        if(v==par) continue ;
        DFS(v,x);
        deg[x] += deg[v] ;
        mx_son = max(mx_son , deg[v]);
    }
    mx_son = max(mx_son , n-deg[x]) ;
    if(mn_son > mx_son)
        mn_node = x , mn_son = mx_son ; 
}
void solve()
{
    for(rd(t);t;t--){
        rd(n) ; 
        mn_node = 0 , mn_son = mod ; cnt = 0 ;
        memset(head,-1,sizeof(head));
        memset(deg,0,sizeof(deg));
        for(int i=1,u,v;i<n;i++){
            rd(u) , rd(v) ;
            add(u,v) , add(v,u) ;
        }
        DFS(1,0);
        printf("%d %d\n",mn_node,mn_son );
    }
}
int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(0) ; cout.tie(0);
    solve();
}

2)Cotree

题意:

由N个点构成两棵树,问在两颗树之间连接一条边之后,各点之间距离和的最小值为多少

题解:

 进行两次DFS找到两颗树的重心,将两个重心连接起来,再进行一次DFS求出距离和即可

#include <iostream>
#include <map>
#include <vector>
#include <queue>
#include <string>
#include <set>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <string>
#include <vector>
#include <map>
#include <set>
#include <list>
#include <deque>
#include <queue>
#include <stack>
#include <cstdlib>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <iomanip>
#pragma GCC optimize(2)
#define ll long long
#define ull unsigned long long
using namespace std;
template <class T>
void rd(T &x){
    x = 0 ;T flag = 1 ;char ch = getchar();
    while(!isdigit(ch)) { if(ch=='-') flag = -1 ; ch = getchar() ; }
    while(isdigit(ch)) { x = (x<<1) + (x<<3) + (ch^48) ; ch = getchar(); }
    x*= flag ;
}
const int INF=0x3f3f3f3f;
const int mxn = 1e5+7;
ll t,n,m,k,cnt,node_1,node_2,ans_1,ans_2,mn_son = 0 , mn_node = 0 , res , ans ;
int head[mxn<<2] , to[mxn<<2] , nx[mxn<<2] ,deg[mxn<<2] ;
int vis[mxn<<2] ;
void add(int u,int v){ to[cnt] = v , nx[cnt] = head[u] , head[u] = cnt++; }
void DFS_INIT(int x) /// 计算两颗子树的节点数量
{
    if(vis[x]) return ;
    res++; vis[x] = 1 ;
    for(int i=head[x];~i;i=nx[i]) if(!vis[to[i]]) DFS_INIT(to[i]); /// 
}
void DFS(int x,int par,int n)
{
    deg[x]=1; int mx_son = 0 ;
    for(int i=head[x];~i;i=nx[i]){
        int v = to[i] ;
        if(v==par) continue;
        DFS(v,x,n);
        deg[x] += deg[v] ;
        mx_son = max(mx_son , deg[v]);/// 子树的最大节点个数
    }
    mx_son = max(mx_son,n-deg[x]); /// 子树的最大节点个数
    if( mx_son < mn_son ){
        mn_son = mx_son , mn_node = x ;
    }
}
void DFS_END(int x,int par)
{
    deg[x] = 1 ;
    for(int i=head[x];~i;i=nx[i]){
        int v = to[i] ;
        if(v==par) continue;
        DFS_END(v,x) ;
        deg[x] += deg[v];
        ans+=(ll)(deg[v])*(ll)(n-deg[v]);
    }
}
int main()
{
    while(~scanf("%lld",&n)){
        cnt = 0 ;
        memset(deg,0,sizeof(deg));
        memset(head,-1,sizeof(head));
        for(int i=1,u,v;i<=n-2;i++){
            rd(u) , rd(v) ;
            add(u,v) , add(v,u) ;
        }
        memset(vis,0,sizeof(vis));
        int n1 = 0 , n2 = 0 ; res = 0 ;
        DFS_INIT(1) , node_1 = 1 , n1 = res , res = 0 ;
        for(int i=1;i<=n;i++){
            if(!vis[i]) {
                DFS_INIT(i) , n2 = res , node_2 = i , res = 0 ;
                break;
            }
        }
        mn_son = INF ; int e1 , e2 ;
        DFS(node_1,0,n1) , e1 = mn_node ,mn_son = INF ;
        DFS(node_2,0,n2) , e2 = mn_node ,mn_son = INF ;
        ///cout<<e1<<" -- "<<e2<<endl;
        add(e1,e2) , add(e2,e1);
        ans = 0 ; DFS_END(1,0);
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}

3)C. Link Cut Centroids

题意:

在N个点的树中,通过删除一条边,连接一条边使得新树只有一个重心,并输出删除和连接的点

题解:

通过DFS判断存在几个重心,然后找到一个重心的子树的叶子节点,如果是一个重心,那么输出两遍叶子节点和连接的点;如果是两个重心,则将找到的叶子节点连接到另一个重心上

#include <iostream>
#include <map>
#include <vector>
#include <queue>
#include <string>
#include <set>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <string>
#include <vector>
#include <map>
#include <set>
#include <list>
#include <deque>
#include <queue>
#include <stack>
#include <cstdlib>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <iomanip>
#pragma GCC optimize(2)
using namespace std;
const int inf=0x3f3f3f3f;
#define ll long long
#define ull unsigned long long
const int mod = 1e9+7;/// 998244353;
const int mxn = 1e5 +7;
int _ , n , m , t , k , ans , cnt , si , res ;
template <class T>
void rd(T &x){
    T flag = 1 ; x = 0 ; char ch = getchar() ;
    while(!isdigit(ch)) { if(ch=='-') flag = -1; ch = getchar(); }
    while(isdigit(ch)) { x = (x<<1) + (x<<3) + (ch^48); ch = getchar(); }
    x*=flag;
}
vector<int> G[mxn] ;
int deg[mxn] , _son = 0 , _node = 0 , head[mxn<<1] , to[mxn<<1] , nx[mxn<<1] , id[5] , node ; 
void add(int u,int v){ to[cnt] = v , nx[cnt] = head[u] , head[u] = cnt++ ; }
void DFS(int u,int par)
{
    deg[u] = 1 ; int son = 0 ;
    for(int i=head[u];~i;i=nx[i]){
        int v = to[i] ;
        if(v==par) continue ;
        DFS(v,u);
        deg[u] += deg[v] ;
        son = max(son,deg[v]);
    }
    son = max(son,n-deg[u]);
    if( son < _son )
        res = 0 , _son = son , _node = u , id[res++] = u ;
    else if(son==_son){
        id[res++] = u ;
    }
}
void _DFS(int x,int par)
{
    if(deg[x]==1) {
        node = x ;
        return ;
    }
    for(int i=head[x];~i;i=nx[i]){
        int v = to[i] ;
        if(v==par || v==id[1]) continue ;
        _DFS(v,x);
    }
}
void solve()
{
    for(rd(t);t;t--){
        rd(n);
        memset(head,-1,sizeof(head));
        memset(deg,0,sizeof(deg));
        for(int i=1,u,v;i<n;i++){
            rd(u) , rd(v) ;
            add(u,v) , add(v,u) ;
        }
        _son = inf ;
        DFS(1,0);
        if(res==1){
            for(int j=1;j<=n;j++){
                if(deg[j]==1){
                    for(int i=head[j];~i;i=nx[i]){
                        printf("%d %d\n%d %d\n",j,to[i],j,to[i]);
                        break;
                    }
                    break;
                }
            }
        } else {
            _DFS(id[0],0);
            for(int i=head[node];~i;i=nx[i]){
                printf("%d %d\n%d %d\n",node,to[i],id[1],node);
                break;
            }
        }
    }
}
int main()
{
    /// freopen("input.in","r",stdin) ; freopen("output.in","w",stdout) ;
    ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(0) ; cout.tie(0);
    solve();
}

 

本文地址:https://blog.csdn.net/m0_43382549/article/details/108571658