pca（princomp）函数详细介绍--墙推
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1.背景了解
在涉及有多个因素对系统的影响时，一种常见的方法是主成分分析，也就是pca方法。
pca的函数改进声明：
在matlab2019B中，已经将princomp函数改为了pca函数，功能相同，函数名改变，所以如果要使用，记得将老版本的代码中的princomp改为pca。
供献率： 每一维数据对于区分全部数据的供献，供献率最大的显然是主成分，第二大的是次主成分…
2.pca函数
matlab中的pca函数主要是实现主成分分析的功能，有1个或3个输入参数，返回参数常见的为4个，帮助文档中涉及到的形式如下：
coeff = pca(X)
coeff = pca(X,Name,Value)
[coeff,score,latent] = pca(___)
[coeff,score,latent,tsquared] = pca(___)
[coeff,score,latent,tsquared,explained,mu] = pca(___)
总结：
1，四个输出是（特征向量_每一列为原始数据组合成主成分的系数，新的坐标_中心化的坐标，特征值_主成分的系数，观察量到中心的距离）；
2，切记：行为元组，列为属性
输入：
X： 为一个M * N维矩阵原始数据，即共有M个样本，每个样本的维度是N维，带入princomp函数，将会生成新的N维加工后的数据（即score）。此数据与之前的N维原始数据一一对应。
输出：
coef： N * N维矩阵，即是系数矩阵，通过coef可以知道X是怎样转成score的，此处的转换，是对输入X的主成分进行了零均值化（参考《模式识别 第三版 张学工》P164） 的处理的，即：
score = (X - miu(X)) * coef
coef 矩阵中，每一列都是Sigma的一个特征向量，Sigma是输入X的协方差矩阵
score： M * N维矩阵，是经过主成分分析变换（即KL变换）后的数据，是对原始数据的解析，进而在新的坐标系下生成的数据，并且将这N维数据按贡献率由大到小排列
latent： N * 1维矩阵，每一个数据对应score里相应维的贡献率，因为每个样本有N维数据，所以latent有N维，也是由大到小排列的（因为score也是按供献率由大到小分列）。
Tsquared： 观察量到中心的距离
则模型为从原始数据出发：
score= bsxfun（＠minus，x，mean（x，1））coef;（感化：可以把测试数据经由过程此办法改变为新的坐标系）
逆变换：
x= bsxfun（＠plus，scoreinv（coef），mean（x，1））
3.例子
下面来看个例子：
%%
%清屏
clear
%%
%初始化数据
a=[-14.8271317103068,-3.00108550936016,1.52090778549498,3.95534842970601;-16.2288612441648,-2.80187433749996,-0.410815700402130,1.47546694457079;-15.1242838039605,-2.59871263957451,-0.359965674446737,1.34583763509479;-15.7031424565913,-2.53005662064257,0.255003254103276,-0.179334985754377;-17.7892158910100,-3.32842422986555,0.255791146332054,1.65118282449042;-17.8126324036279,-4.09719527953407,-0.879821957489877,-0.196675865428539;-14.9958877514765,-3.90753364293621,-0.418298866141441,-0.278063876667954;-15.5246706309866,-2.08905845264568,-1.16425848541704,-1.16976057326753;];
x=a;
%%
%调用princomp函数
[coef,score,latent,t2] = pca(x);
score
%测试score是否和score_test一样
score_test=bsxfun(@minus,x,mean(x,1))*coef;
score_test
latent=100*latent/sum(latent)%将latent总和同一为100,便于调查供献率
pareto(latent);%调用matla画图
View Code
上图是经由过程自带函数绘制，当供献率累加至95％，今后的维数会不在显示，最多只显示10维。
做出的图像：
4.深入理解
能够深入理解三点：
1.认为主成分解析中latent显示的供献值是原始数据的，其实是加工后的数据的。申明:对原始数据既然选择PCA办法，那么策画机认为原始数据每维之间可能存在接洽关系，你想去掉接洽关系、降落维数。所以采取这种办法的。所以策画机并不关怀原始数据的供献值，因为你不会去用了，用的是加工后的数据（这也是为什么当把输入数据每一维的次序改变后，score、latent不受影响的原因）。
2.认为PCA解析后主动降维，不合错误。PCA后会有供献值，是输入者按照本身想要的供献值进行维数的改变，进而生成数据。（一般大师会取供献值在85％以上，请求高一点95％）。
3.PCA解析，只按照输入数据的特点进行主成分解析，与输出有几许类型，每个数据对应哪个类型无关。若是样本已经分好类型，那PCA后势必对成果的正确性有必然影响，我认为对于此类数据的PCA，就是在降维与正确性间找一个均衡点的题目，让数据即不会维数多而使运算错杂，又有较高的辨别率。
5.帮助理解的例子
这是matlab中文论坛里面一个大神写的，帮助理解
% 关于matlab中princomp的使用说明讲解小例子 by faruto
% 能看懂本程序及相关注释讲解的前提是您对PCA有一定的了解~O(∩_∩)O
% 2009.10.27
clear;
clc
%% load cities data
load cities
% whos
% Name Size Bytes Class
% categories 9x14 252 char array
% names 329x43 28294 char array
% ratings 329x9 23688 double array
%% box plot for ratings data
% To get a quick impression of the ratings data, make a box plot
figure;
boxplot(ratings,'orientation','horizontal','labels',categories);
grid on;
print -djpeg 1;
%% pre-process
stdr = std(ratings);
sr = ratings./repmat(stdr,329,1);
%% use princomp
[coef,score,latent,t2] = princomp(sr);
%% 输出参数讲解
% coef:9*9
% 主成分系数:即原始数据线性组合生成主成分数据中每一维数据前面的系数.
% coef的每一列代表一个新生成的主成分的系数.
% 比如你想取出前三个主成分的系数,则如下可实现:pca3 = coef(:,1:3);
% score:329*9
% 字面理解:主成分得分
% 即原始数据在新生成的主成分空间里的坐标值.
% latent:9*1
% 一个列向量,由sr的协方差矩阵的特征值组成.
% 即 latent = sort(eig(cov(sr)),'descend');
% 测试如下:
% sort(eig(cov(sr)),'descend') =
% 3.4083
% 1.2140
% 1.1415
% 0.9209
% 0.7533
% 0.6306
% 0.4930
% 0.3180
% 0.1204
% latent =
% 3.4083
% 1.2140
% 1.1415
% 0.9209
% 0.7533
% 0.6306
% 0.4930
% 0.3180
% 0.1204
% t2:329*1
% 一中多元统计距离,记录的是每一个观察量到中心的距离
%% 如何提取主成分,达到降为的目的
% 通过latent,可以知道提取前几个主成分就可以了.
figure;
percent_explained = 100*latent/sum(latent);
pareto(percent_explained);
xlabel('Principal Component');
ylabel('Variance Explained (%)');
print -djpeg 2;
% 图中的线表示的累积变量解释程度.
% 通过看图可以看出前七个主成分可以表示出原始数据的90%.
% 所以在90%的意义下只需提取前七个主成分即可,进而达到主成分提取的目的.
%% Visualizing the Results
% 结果的可视化
figure;
biplot(coef(:,1:2), 'scores',score(:,1:2),...
'varlabels',categories);
axis([-.26 1 -.51 .51]);
print -djpeg 3;
% 横坐标和纵坐标分别表示第一主成分和第二主成分
% 红色的点代表329个观察量,其坐标就是那个score
% 蓝色的向量的方向和长度表示了每个原始变量对新的主成分的贡献,其坐标就是那个coef.