3D数学 学习笔记（4） 几何图元

参考书籍：
《3D数学基础：图形与游戏开发》

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射线

p(t) = p₀ + td

两种形式：
1. d为增量向量，t范围在[0, 1]，即0为起点，1为终点。
2. d为单位向量，t范围在[0, l]，l为射线的长度。

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直线

斜截式

• y = mx + b

2D直线隐式定义

• ax + by = d

向量法标记的2D直线隐式定义

• p·n = d
  n为垂直线上单位向量，p为线上任意点(x, y)
  

用线段的垂直平分线定义

• || p·q || = || p·r ||

转换到隐格式：

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球和圆

隐式公式（p为球表面的任意点，c是圆心，r是半径）

|| p - c || = r

• 圆周长：C = 2πr = πD
• 圆面积：A = πr²
• 球表面积：S = 4 πr²
• 球体积：V = 4/3 πr³

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矩形边界框

在Unity中，代表Bounds类，BoxCollider，和MeshRenderer都包含这个类的对象。
- AABB（axially aligned bounding box）：轴对齐矩形边界框。
- OBB（oriented bounding box）：方向矩形边界框。

AABB转换

小框：通过变换后物体重新计算AABB。大框：通过原来的AABB八个点旋转后重新赋值。

下面是通过AABB转换到新的AABB。

计算时新的xyz的最大或最小值时，可以直接通过判断矩阵的值正负来计算。如下代码段：

if (m.m11 > 0.0 f ) { 
    min. x += m.m11 ∗ box .min. x ; max. x += m.m11 ∗ box .max. x ; 
} else {
    min. x += m.m11 ∗ box .max. x ; max. x += m.m11 ∗ box .min. x ;
}

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平面

• ax + by + cz =d
• p·n = d （n = [a,b,c]，平面的法向量，单位向量。p为平面内任意一点。）

可以用三个不共线的点求出平面方程：先求法向量n，再通过任意一点与法向量点乘后可得出d。

多于三个的平面计算

如果只考虑三个计算可能会因为共线问题，精度问题或者是凹多边形而计算错误。所以需要考虑所有点。

点到平面距离

a = q·n - d （q为计算的点，a为0时代表在平面上，小于0为在背面。）

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三角形

正弦和余弦公式：

三角形面积

• 海伦公式：（s为周长的一半）
  

• 顶点坐标直接求面积：
  

• 因为是平行四边形面积的一半，所以可以直接由两个向量叉乘求模除于2得到计算结果：
  

重心坐标空间

三角形所在平面的任意点都能表示为顶点的加权平均值。这个权就是称作重心坐标。重心坐标的和为1：b₁ + b₂ + b₃ = 1。

因为中心坐标和为1，所以可以通过两个值计算直接计算出第三个值。解方程组合（省略）后可得到结论：中心坐标每个值都可理解为对应子三角形与总三角形的比值。（注意：这里是计算2D空间下的中心坐标）

要计算3D空间下的中心坐标，可以把三角形投影到2D平面，因为投影面积和原面积成比例，而要抛弃的坐标选：法向量值绝对值最大的坐标，即尽可能让三角形投影较大的展示出来。
在计算三角形面积时，因为叉乘大小对顶点顺序不敏感，总是正的，对于在在三角形外的点就不适用了（会有负值的重心坐标）。可以用点乘来判断方向。

因为分子分母都有法向量n，所以不必正则化n。

重心（质心）

三角形的最佳平衡点，三条中线的交点。重心坐标三个值都一样，为1/3。

内心

三角形内切圆的圆心，也是角平分线交点。p为周长。

内切圆的半径可以由三角形面积除以周长得到：

外心

三角形外切圆的圆心，也是各边垂直平分线的交点。

计算重心坐标，外心，外接圆半径：

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多边形

分简单多边形和复杂多边形。简单多边形没有洞，复杂的有。复杂多边形转换成简单多边形可以在洞直接做连接线，把多边形弄成只有一条边。

凸多边形和凹多边形

判断方法：
1. 计算每个顶点较小的角（内角或外角）和，凸多边形得到（n-2）180°，凹多边形则小于这个值。用点乘来判断较小的角（反三角函数，取得小于180°的角）。
2. 判断所有点转向应该一致（法向量方向一致），用叉乘可以得到法向量，再点乘多边形的法向量就可以判断该点是否凹点（点乘小于0）。

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