Perspective Correct Interpolation

线性插值的问题

OpenGL在进行光栅化时，对于每个fragment shader的input attribute作插值，这个插值默认情况下perspective correct的。插值默认是screen space进行的，如果使用简单的线性插值，对于texture mapping会得到错误的结果，来看下图（图片取自《Graphics Shaders 2nd》）。

可以明显地看到采用线性插值的quad中两个triangles的边界。

Perspective Correct Interpolation的简单推导

OpenGL 4.5 spec 14.6 p456中给出地插值公式如下

$f = \frac{af_a/w_a+bf_b/w_b+cf_c/w_c}{a/w_a+b/w_b+c/w_c}\quad (1)$f=a/wa​+b/wb​+c/wc​afa​/wa​+bfb​/wb​+cfc​/wc​​(1)

其中$(a,b,c)$(a,b,c)为fragment对应的重心坐标，$f_i$fi​为顶点处地attribute，$w_i$wi​为顶点齐次坐标地最后一个分量。

为了简化讨论，我们这里在2D中进行讨论，结论对3D同样有效。

考虑上图中的线段AB，投影后的线段为A’B’，其中A’B’的中心$x=0$x=0。我们可以容易地发现，A’B’中心并不对应AB中心，所以直接使用$0.5$0.5对AB属性进行线性插值会得到错误的结果。容易想到，如果我们通过screen space的插值系数，得到camera space的插值系数，那么就可以得到perspective correct的interpolation。

假设screen space的点P的插值系数为$t$t，A为$(x_0,y_0)$(x0​,y0​)，B为$(x_1, y_1)$(x1​,y1​)，near plane $y=1$y=1（不影响结果，为1可以简化讨论），可知

$A'_x = \frac{x_0}{y_0}, B'_x = \frac{x_1}{y_1}$Ax′​=y0​x0​​,Bx′​=y1​x1​​

计算$OP$OP与$AB$AB的交点，我们可以得到camera space的插值系数为$s$s为

$s(t) = \frac{\frac{t}{y_1}}{(1-t)\frac{1}{y_0}+t\frac{1}{y_1}}$s(t)=(1−t)y0​1​+ty1​1​y1​t​​

若我们在A处属性为$a$a，B处属性为$b$b，那么使用$s(t)$s(t)进行插值，结果为

$P(s)=(1-s)a+sb=\frac{(1-t)\frac{a}{y_0}+t\frac{b}{y_1}}{(1-t)\frac{1}{y_0}+t\frac{1}{y_1}} \quad(2)$P(s)=(1−s)a+sb=(1−t)y0​1​+ty1​1​(1−t)y0​a​+ty1​b​​(2)

如果使用标准透视矩阵，那么$(1)$(1)中的$w_i=-z_i$wi​=−zi​，我们可以看出公式$(2)$(2)与$(1)$(1)是一致的。

公式$(2)$(2)可以进一步表示为线性插值

$\begin{aligned} P(s)&= (1-p)a+p \cdot b \\ p&=\frac{t\frac{1}{y_1}}{(1-t)\frac{1}{y_0}+t\frac{1}{y_1}} \\ \end{aligned}$P(s)p​=(1−p)a+p⋅b=(1−t)y0​1​+ty1​1​ty1​1​​​

gl_Position

也许有人会有疑问，我们能不能在vertex shader中进行透视除呢？即对于齐次坐标$(x,y,z,w)$(x,y,z,w)，手动进行透视除，得到$(\frac{x}{w},\frac{y}{w},\frac{z}{w},1)$(wx​,wy​,wz​,1)并赋值给gl_Position。我们可以将$w=1$w=1代入$(1)$(1)，得到

$\begin{aligned} f&=\frac{a}{a+b+c}f_a+\frac{a}{a+b+c}f_b+\frac{a}{a+b+c}f_c \\ &=af_a+bf_b+cf_c \end{aligned}$f​=a+b+ca​fa​+a+b+ca​fb​+a+b+ca​fc​=afa​+bfb​+cfc​​

显然这退化成为了screen space的线性插值，所以必然最后结果是不正确的。在Unity中作一个简单的实验就可以看到结果

上图是未进行透视除的结果，下图是进行透视除的结果。

测试代码如下

Shader "Unlit/VertexColor"
{
	Properties
	{
		_MainTex ("Main Texture", 2D) = "white" {}
		[Toggle] _ManualPerspectiveDivision ("Manual Perspective Division", Float) = 0
	}
	SubShader
	{
		Tags { "RenderType"="Opaque" }
		LOD 100

		Pass
		{
			GLSLPROGRAM

			#include "UnityCG.glslinc"

			#ifdef VERTEX

			uniform int _ManualPerspectiveDivision;

			out vec2 vST;

			void main()
			{
				vST = gl_MultiTexCoord0.st;
				gl_Position = gl_ModelViewProjectionMatrix * gl_Vertex;
				if (_ManualPerspectiveDivision != 0) {
					gl_Position /= gl_Position.w;
				}
			}

			#endif

			#ifdef FRAGMENT

			in vec2 vST;
			uniform sampler2D _MainTex;

			void main()
			{
				gl_FragColor = texture(_MainTex, vST);
			}

			#endif
			
			ENDGLSL
		}
	}
}

结论

1. 要进行perspective correct interpolation，不能直接在screen space利用重心坐标直接进行插值。
2. 齐次坐标的$w$w对于进行perspective correct interpolation至关重要，不能在vertex shader中手动进行透视除。