洛谷4755 Beautiful Pair

Problem

洛谷

Solution

考虑分治，对于区间$[l,r]$[l,r]，找出其最大值的位置$pos$pos，那么就需要在左右找出乘积不大于其的对数。怎么找呢，考虑建出主席树，然后扫一遍较短的区间，找一下小于某个值的有多少即可。

为什么这样的复杂度不会被卡到$O(n^2)$O(n2)呢，因为一次分治的复杂度和其区间长度无关，所以应该这样来分析，对于一个区间如果被扫，说明当前区间至少是两倍，因此每个数至多被扫$O(\log n)$O(logn)次。所以为了保证复杂度分治查找最大值时要用RMQ来做。

时间复杂度$O(n\log^2 n)$O(nlog2n)。

Code

#include <algorithm>
#include <cstdio>
#define rg register
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=100010,maxm=3000010,INF=0x3f3f3f3f;
template <typename Tp> inline int getmin(Tp &x,Tp y){return y<x?x=y,1:0;}
template <typename Tp> inline int getmax(Tp &x,Tp y){return y>x?x=y,1:0;}
template <typename Tp> inline void read(Tp &x)
{
    x=0;int f=0;char ch=getchar();
    while(ch!='-'&&(ch<'0'||ch>'9')) ch=getchar();
    if(ch=='-') f=1,ch=getchar();
    while(ch>='0'&&ch<='9') x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
    if(f) x=-x;
}
struct data{
	int val,id;
	bool operator < (const data &t)const{return val<t.val;}
}mx[17][maxn];
int n,sz,tot,a[maxn],b[maxn],lg[maxn];
int rt[maxn],sum[maxm],lc[maxm],rc[maxm];
ll ans;
void update(int l,int r,int pos,int &rt)
{
	++sz;lc[sz]=lc[rt];rc[sz]=rc[rt];sum[sz]=sum[rt]+1;
	rt=sz;
	if(l==r) return ;
	int m=(l+r)>>1;
	if(pos<=m) update(l,m,pos,lc[rt]);
	else update(m+1,r,pos,rc[rt]);
}
int query(int l,int r,int L,int R,int lt,int rt)
{
	if(!rt) return 0;
	if(L<=l&&r<=R) return sum[rt]-sum[lt];
	int m=(l+r)>>1,res=0;
	if(L<=m) res+=query(l,m,L,R,lc[lt],lc[rt]);
	if(m<R) res+=query(m+1,r,L,R,rc[lt],rc[rt]);
	return res;
}
data qmx(int l,int r)
{
	int k=lg[r-l+1];
	return max(mx[k][l],mx[k][r-(1<<k)+1]);
}
void input()
{
	read(n);lg[0]=-1;
	for(rg int i=1;i<=n;i++)
	{
		read(a[i]);b[i]=a[i];
		lg[i]=lg[i>>1]+1;
	}
	sort(b+1,b+n+1);tot=unique(b+1,b+n+1)-b-1;
	for(rg int i=1;i<=n;i++) a[i]=lower_bound(b+1,b+tot+1,a[i])-b;
	for(rg int i=1;i<=n;i++)
	{
		rt[i]=rt[i-1];
		update(1,tot,a[i],rt[i]);
		mx[0][i]=(data){a[i],i};
	}
	for(int i=1;i<=lg[n];i++)
	  for(rg int l=1,r=1+(1<<i-1);r<=n;++l,++r)
	    mx[i][l]=max(mx[i-1][l],mx[i-1][r]);
}
void solve(int l,int r)
{
	if(l>r) return ;
	data t=qmx(l,r);
	int pos=t.id,mx=t.val,tmp,p;
	if(pos-l<r-pos)//left is shorter
	{
		for(int i=l;i<=pos;i++)
		{
			tmp=b[mx]/b[a[i]];
			p=upper_bound(b+1,b+tot+1,tmp)-b-1;
			if(p>=1) ans+=query(1,tot,1,p,rt[pos-1],rt[r]);
		}
	}
	else
	{
		for(int i=pos;i<=r;i++)
		{
			tmp=b[mx]/b[a[i]];
			p=upper_bound(b+1,b+tot+1,tmp)-b-1;
			if(p>=1) ans+=query(1,tot,1,p,rt[l-1],rt[pos]);
		}
	}
	solve(l,pos-1);solve(pos+1,r);
}
int main()
{
	#ifndef ONLINE_JUDGE
	freopen("in.txt","r",stdin);
	#endif
	input();
	solve(1,n);
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}