4.蒙特卡洛（Monte-Carlo, MC）+时序差分（Temporal Difference, TD）

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简介

之前讲的PG算法和PPO算法，都是Policy-based的方法，接下来我们要讲Value-based的方法。之前说过了，P-B方法和V-B方法的区别在于前者训练的是策略本身（actor），而后者训练的是一种评判标准（critic）。critic能根据你输入的状态/动作，凭借策略$\pi$来输出对应的值函数。值函数有两种，一种是V（状态-值函数），一种是Q（状态-动作值函数），我们要讲的MC算法和TD算法是用来估计V值函数的。

符号

• $\tau$：一轮游戏中的具体过程（trajectory），$\tau=\{s_1,a_1,r_1,s_2,a_2,r_2,\ldots,s_T,a_T,r_T\}$，是状态-行为-奖赏的时间序列。
• $G_t$：时间从t到结束的累积奖赏，由于t时刻的奖励是采取行动后t+1时刻才拥有的，所以$G_t$满足：$G_t={r_{t+1}+r_{t+2}+\ldots}$
• $V_\pi(s)$：策略为$\pi$的状态-值函数，即状态s下预计累计回报的期望值，满足：$V_\pi(s)=\mathbb{E}[G_t\vert S_t=s]$
• $Q_\pi(s,a)$：策略为$\pi$的状态-动作值函数，即状态s下采取动作a预计累计回报的期望值，满足：$Q_\pi(s,a)=\mathbb{E}[G_t\vert S_t=s,A_t=a]$

蒙特卡洛（Monte-Carlo, MC）算法

MC算法就是通过采样来估计分布的一种算法。在一场游戏中，先让策略$\pi$去和环境进行交互获取数据，看到状态$s$后计算整场游戏的累积奖赏$G$，记录下这些数据后训练一个回归问题来拟合$V_\pi(s)$。如下图所示：

公式逼近为：$V_\pi(s)\leftarrow V_\pi(s)+\alpha(G_t-V_\pi(s))$

其中$\alpha$为学习率，越接近1学的越快。
显而易见，这样的训练需要大量的采样，并且每次update都需要一整轮的累积奖赏$G_t$，因此实际情况下我们用TD算法会比较多。

时序差分（Temporal Difference, TD）算法

在MC算法中，我们每次都要算整场游戏的总和$G$。有的游戏很长，每次都要玩完游戏会花费很多时间。而TD算法只需要有$\ldots s_t,a_t,r_t,s_{t+1},\ldots$这样的序列，就可以应用。
这是基于一个显见的递推公式：$V_\pi(s_t)=V_\pi(s_{t+1})+r_t$

有了这样一个递推公式，我们只需要记录每一步的即时奖励$r_t$，通过神经网络直接训练$V_\pi$函数，分别输入$s_t$和$s_{t+1}$，将两个结果相减，再将减后的结果与$r_t$进行回归拟合就行了。如下图所示：

公式逼近为：$V_\pi(s)\leftarrow V_\pi(s)+\alpha(r_{t+1}+ V_\pi(s')-V_\pi(s))$

其中$s'$是下一步的状态。

MC v.s. TD

MC的问题在于其方差过大。我们用MC算法回归估计的是累积奖赏$G$，而累积奖赏是许多step的和，而游戏的每一步step的奖赏$r$都有随机性，这份随机性也通过方差积累下来了。
而TD中的即时奖赏$r$同样具有随机性，但是方差会小很多。TD的问题在于V的估计可能不准，那递归调用就会放大这份估计的误差。

例子

假设通过一个策略$\pi$玩游戏，获得了以下8轮的$\tau$：

• $s_a,r_a=0,s_b,r_b=0,End$
• $s_b,r=1,End$
• $s_b,r=1,End$
• $s_b,r=1,End$
• $s_b,r=1,End$
• $s_b,r=1,End$
• $s_b,r=1,End$
• $s_b,r=0,End$

我们通过MC和TD算法分别估测a和b的状态值函数。
Monte-Carlo:$V_\pi(s_a)=0\\V_\pi(s_b)=\frac{3}{4}$
Temporal Difference:$V_\pi(s_a)=V_\pi(s_b)=\frac{3}{4}$
如之前所说，MC算法就是采样状态s，然后计算其V值。我们发现在这8轮游戏中，a在第一轮出现一次，且一整轮的累积奖赏$G_1=r_a+r_b=0$，所以$V_\pi(s_a)=\mathbb{E}[G_a]=G_1=0$；而b在8轮中都出现过了，其中有六轮中累积奖赏$G_{1,2,3,4,5,6}=1$，两轮中累积奖赏$G_{0,7}=0$，所以$V_\pi(s_b)=\mathbb{E}[G_b]=\frac{1}{8}\sum_{i=0}^7 G_i=\frac{3}{4}$。
TD算法则是根据动作的即时奖赏来估计V值。在8轮中，状态$s_b$都是最后一个状态，所以对于每一轮都有$V_\pi(s_b)=V_\pi(End)+r$。而由定义易得$V_\pi(End)=0$，所以$V_\pi(s_b)=\frac{3}{4}$。对于$V_\pi(s_a)$，在第一轮中有$V_\pi(s_a)=V_\pi(s_b)+r_a$，且$r_a=0$，所以$V_\pi(s_a)=V_\pi(s_b)=\frac{3}{4}$。

其他的critic

如果不估计$V_\pi$而是用动作-状态值函数$Q_\pi$，也是可以用MC和TD方法的，过程基本一致，不过Q函数接收的参数除了状态还有动作，因此需要更改一下公式。

总结

实际运用中用TD算法比较多。接下来讲Q-learning。

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