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解极限方程得到极限值

程序员文章站 2022-03-23 11:08:12
这个题就比较简单了a0=1,∀k∈N+,ak+1=1ak+1a_0=1, \forall k\in \N_+, a_{k+1}=\frac{1}{a_k+1}a0​=1,∀k∈N+​,ak+1​=ak​+11​求:lim⁡n→∞an\lim_{n\to \infty} a_nn→∞lim​an​解法思路很明确,题目很简单,先证明极限存在,再通过解极限方程得到极限值。先试着写出前几项:{1,12,23,35,58,⋯ }\{1, \frac{1}{2}, \frac{2}{3},\frac{3}...

这个题就比较简单了

a 0 = 1 , ∀ k ∈ N + , a k + 1 = 1 a k + 1 a_0=1, \forall k\in \N_+, a_{k+1}=\frac{1}{a_k+1} a0=1,kN+,ak+1=ak+11

求:

lim ⁡ n → ∞ a n \lim_{n\to \infty} a_n nliman

解法

思路很明确,题目很简单,先证明极限存在,再通过解极限方程得到极限值。

先试着写出前几项:

{ 1 , 1 2 , 2 3 , 3 5 , 5 8 , ⋯   } \{1, \frac{1}{2}, \frac{2}{3},\frac{3}{5},\frac{5}{8}, \cdots\} {1,21,32,53,85,}

证法一:单调有界收敛

显然 ∀ k , a k > 0 \forall k, a_k>0 k,ak>0,觉得不显然的话,可以数学归纳法 a k > 0 → a k + 1 > 0 a_k>0 \to a_{k+1}>0 ak>0ak+1>0

将数列按照下标的奇偶性拆分成两个数列:

x k = a 2 k , y k = a 2 k + 1 , k ∈ { 0 , 1 , 2 , ⋯   } x_k = a_{2k}, y_k=a_{2k+1}, k\in \{0, 1, 2, \cdots\} xk=a2k,yk=a2k+1,k{0,1,2,}

即有

x 0 = a 0 = 0 , y 0 = a 1 = 1 2 x_0=a_0=0, y_0=a_1=\frac{1}{2} x0=a0=0,y0=a1=21

这个时候对于任意的 k ∈ { 0 , 1 , 2 , ⋯   } k \in \{0, 1, 2, \cdots\} k{0,1,2,} 都有:

x k + 1 = 1 1 x k + 1 + 1 = 1 − 1 x k + 2 x_{k+1}=\frac{1}{\frac{1}{x_k+1}+1}=1-\frac{1}{x_k+2} xk+1=xk+11+11=1xk+21

y k + 1 = 1 1 y k + 1 + 1 = 1 − 1 y k + 2 y_{k+1}=\frac{1}{\frac{1}{y_k+1}+1}=1-\frac{1}{y_k+2} yk+1=yk+11+11=1yk+21

做差得:

x k + 1 − x k = − x k 2 − x k + 1 x k + 2 x_{k+1}-x_k=\frac{-x_k^2-x_k+1}{x_k+2} xk+1xk=xk+2xk2xk+1

y k + 1 − y k = − y k 2 − y k + 1 y k + 2 y_{k+1}-y_k=\frac{-y_k^2-y_k+1}{y_k+2} yk+1yk=yk+2yk2yk+1

接下来,证明 x k x_k xk y k y_k yk 的单调性

x k > − 1 + 5 2 x_k > \frac{-1+\sqrt5}{2} xk>21+5

那么就有

x k + 2 > 3 + 5 2 x_k+2 > \frac{3+\sqrt 5}{2} xk+2>23+5

1 x k + 2 < 2 3 + 5 = 3 − 5 2 \frac{1}{x_k+2} < \frac{2}{3+\sqrt 5}=\frac{3-\sqrt 5}{2} xk+21<3+5 2=235

x k + 1 = 1 − 1 x k + 2 > 1 − 3 − 5 2 = − 1 + 5 2 x_{k+1}=1-\frac{1}{x_k+2}>1-\frac{3-\sqrt 5}{2}=\frac{-1+\sqrt 5}{2} xk+1=1xk+21>1235 =21+5

而因为

x 0 = 1 > − 1 + 5 2 x_0=1>\frac{-1+\sqrt 5}{2} x0=1>21+5

因此

∀ k ∈ N , x k > − 1 + 5 2 \forall k \in \N, x_k>\frac{-1+\sqrt 5}{2} kN,xk>21+5

此时有

− x k 2 − x k + 1 < 0 -x_k^2-x_k+1<0 xk2xk+1<0

因此,数列 x k x_k xk 单调递减,且有下界 − 1 + 5 2 \frac{-1+\sqrt 5}{2} 21+5 ,即数列 x k x_k xk 极限存在。

用同样的方法,我们也能够证明

∀ k ∈ N , y k < − 1 + 5 2 , y k + 1 > y k \forall k\in \N, y_k <\frac{-1+\sqrt 5}{2}, y_{k+1}>y_k kN,yk<21+5 ,yk+1>yk

因此,数列 y k y_k yk 单调递增且有上界,数列 y k y_k yk极限存在。

列出极限方程:

lim ⁡ k → ∞ x k + 1 = lim ⁡ k → ∞ ( 1 − 1 x k + 2 ) \lim_{k\to \infty} x_{k+1} = \lim_{k\to \infty}(1-\frac{1}{x_k+2}) klimxk+1=klim(1xk+21)

lim ⁡ k → ∞ y k + 1 = lim ⁡ k → ∞ ( 1 − 1 y k + 2 ) \lim_{k\to \infty} y_{k+1} = \lim_{k\to \infty}(1-\frac{1}{y_k+2}) klimyk+1=klim(1yk+21)

解得:

lim ⁡ k → ∞ x k = lim ⁡ k → ∞ y k = − 1 + 5 2 \lim_{k\to\infty}x_k=\lim_{k\to\infty}y_k=\frac{-1+\sqrt 5}{2} klimxk=klimyk=21+5

(负值舍去)

因此,原数列 a k a_k ak 的极限为:

lim ⁡ k → ∞ a k = − 1 + 5 2 \lim_{k\to \infty}a_k=\frac{-1+\sqrt 5}{2} klimak=21+5

证法二:斐波那契数列

通过上面给出的数列前几项,不难发现:

a k = f k f k + 1 a_k=\frac{f_k}{f_{k+1}} ak=fk+1fk

其中数列 f f f 的定义如下:

f 0 = f 1 = 1 f_0=f_1=1 f0=f1=1

∀ k ∈ { 2 , 3 , ⋯   } , f k = f k − 1 + f k − 2 \forall k\in \{2, 3, \cdots\}, f_k=f_{k-1}+f_{k-2} k{2,3,},fk=fk1+fk2

也就是我们常说的斐波那契数列。

这一结论可以通过数学归纳法证明:

首先,这一性质对 a 0 , a 1 a_0,a_1 a0,a1 显然成立。

然后,假设这一性质对 a k a_k ak 成立,即 a k = f k f k + 1 a_k=\frac{f_k}{f_{k+1}} ak=fk+1fk,那么就有:

a k + 1 = 1 a k + 1 = f k + 1 f k + f k + 1 = f k + 1 f k + 2 a_{k+1}=\frac{1}{a_k+1}=\frac{f_{k+1}}{f_{k}+f_{k+1}}=\frac{f_{k+1}}{f_{k+2}} ak+1=ak+11=fk+fk+1fk+1=fk+2fk+1

也就是说,这条性质对 a k + 1 a_{k+1} ak+1 也成立。

综上:

∀ k ∈ N , a k = f k f k + 1 \forall k\in \N, a_k=\frac{f_{k}}{f_{k+1}} kN,ak=fk+1fk

不难证明,斐波那契数列的通项公式为:

f n = 1 5 ( ( 1 + 5 2 ) n + 1 − ( 1 − 5 2 ) n + 1 ) f_n=\frac{1}{\sqrt 5}\left(\left(\frac{1+\sqrt5}{2}\right)^{n+1}-\left(\frac{1-\sqrt5}{2}\right)^{n+1}\right) fn=5 1(21+5 )n+1(215 )n+1

证明方法太多,读者自行百度。

此时有:

lim ⁡ k → ∞ a k = lim ⁡ k → ∞ f k f k + 1 = ( 1 + 5 2 ) − 1 = − 1 + 5 2 \lim_{k\to \infty}a_k=\lim_{k\to\infty}\frac{f_k}{f_{k+1}}=\left(\frac{1+\sqrt 5}{2}\right)^{-1}=\frac{-1+\sqrt 5}{2} klimak=klimfk+1fk=(21+5 )1=21+5

Q . E . D . Q.E.D. Q.E.D.

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