数论 - 正整数分解使得乘积最大问题

一、问题描述

设 n 是一个正整数。现在要求将 n 分解为若干个自然数之和，使得自然数的成绩最大。输出这个最大的乘积。

要求：

（1）要求这些自然数 互不相同。
（2）要求这些自然数 可以相同。（同一个数结果大于等于（1）的结果）

二、问题分析

1、要求这些自然数 互不相同：

先来看几个数找找规律：
（1）小于等于 4 的情况就不用说了。
（2）从 5 开始写起：5=2+3，6=2+4，7=3+4，8=3+5，9=2+3+4，10=2+3+5，11=2+4+5
  Ps：从 1 开始写没意义，因为相乘还是 1*x==x 还少了相对于原来的 n 还少了 1 呢，更小了，所以从 2 开始才行~

发现规律如下：

• 尽量使得元素是连续的，（一律从 2 开始）。
• 如果连续加的时候，某个数 k 加的时候正好超出了 n ，则该数 k 不能算入，而是把让 rest =（n - 前面  ( k - 1 ) 项总和），从后往前（因为一开始就使升序，所以也从大到小）均匀分配（+1）到各个元素，直到 rest == 0。

Code：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<string>
#include<vector>
#include<stack>
#include<bitset>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<set>
#include<list>
#include<deque>
#include<map>
#include<queue>

#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof a);
#define INF 0x3f3f3f3f

using namespace std;

typedef long long ll;

int a[100],b[100];

int main()
{
    int rs=0,len=0;
    for(int i=2;rs<=1100;i++)
    {
        a[len++]=i;
        rs+=i;
    }

    int n;
    while(~scanf("%d",&n))
    {
        if(n<=4) // 没办法拆分成不同的数使乘积大于等于 (1*n)
        {
            //...
            continue;
        }

        rs=0;
        int k=0;
        for(int i=0;i<len-1;i++)
        {
            rs+=a[i];
            if(n-rs<a[i+1])
            {
                b[k++]=a[i];
                rs=n-rs;
                int j=k-1;
                while(1)
                {
                    b[j--]+=1;
                    rs--;
                    if(rs<=0) break;
                    if(j==-1) j=k-1;
                }
                break;
            }
            else if(n-rs==a[i+1])
            {
                b[k++]=a[i];
                b[k++]=a[i+1];
                break;
            }
            else
                b[k++]=a[i];

            if(rs<=0) break;
        }

        printf("%d",b[0]);
        for(int i=1;i<k;i++)
            printf(" %d",b[i]);
        puts("");
    }

    return 0;
}

2、要求这些自然数 可以相同：

先来看几个数找找规律：4=2+2，5=2+3，6=3+3，7=3+2+2，8=3+3+2，9=3+3+3

发现规律如下：

（1）元素不会超过4，因为4=2+2，又可以转化为2的问题，而5=2+3，5<2*3，所以5总能分解成2和3。
（2）尽可能多分解出3，然后分解出2，不要分出1。

考虑任意一个数，除以3之后的结果有以下3种：
（1）能被3除断（即整除），那么就分解为3+3+...+3的情况即可。例如：9=3+3+3。
（2）被3除余1，分解为3+3+...+3+2+2或者3+3+...+3+4的情况，例如：10=3+3+2+2
（3）被3除余2，分解为3+3+...+3+2的情况，例如：11=3+3+3+2。

Code（注意：有秒杀公式）：

#include<bits/stdc++.h>
#include<cmath>

#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof a);
#define INF 0x3f3f3f3f

using namespace std;

typedef long long ll;

int main()
{
    int T; scanf("%d",&T);
    int n;
    while(T-- && ~scanf("%d",&n))
    {
        int rs;
        if(n==0) rs=1; // 根据题目需要
        else if(n<4) rs=n; // 根据题目需要
        else
        {
            int cnt3,cnt2; // 3的个数 2的个数
            if(n%2==1) // 奇数时
            {
                cnt3=(n-3)/6*2+1;
                cnt2=(n-3)%6/2;
            }
            else // 偶数时
            {
                cnt3=n/6;
                cnt2=n%6/2;
            }
            rs=pow(3,cnt3) * pow(2,cnt2);
        }

        printf("%d\n",rs);
    }

    return 0;
}