LeetCode 刷题 [C++] [面试题 17.09]. 第 k 个数 (动态规划 + 三指针)

题目描述

有些数的素因子只有 3，5，7，请设计一个算法找出第 k 个数。注意，不是必须有这些素因子，而是必须不包含其他的素因子。例如，前几个数按顺序应该是 1，3，5，7，9，15，21。
示例 1:

输入: k = 5

输出: 9

核心思想：动态规划
因为DP在时间和空间上都能达到最优，即O(N);

解题思路：在此称3, 5, 7倍数的素数是丑数（非严格意义上的丑数，在此只是为了便于描述）。那么对于第K个素数，其一定是f(K) = min(某个素数的3倍，某个素数的5倍，某个素数的7倍）。

举例说明如下所示：

dp[0] = 1;
p3 = 0, p5 = 0, p7 = 0;

dp[1] = ( dp[p3]*3, dp[p5]*5, dp[p7]*7 ) = ( 3, 5, 7 ) --> 3;
p3 = 1, p5 = 0, p7 = 0;

dp[2] = ( dp[p3]*3, dp[p5]*5, dp[p7]*7 ) = ( 9, 5, 7 ) --> 5;
p3 = 1, p5 = 1, p7 = 0;

dp[3] = ( dp[p3]*3, dp[p5]*5, dp[p7]*7 ) = ( 9, 15, 7 ) --> 7;
p3 = 1, p5 = 1, p7 = 1;

dp[4] = ( dp[p3]*3, dp[p5]*5, dp[p7]*7 ) = ( 9, 15, 21 ) --> 9;
p3 = 2, p5 = 1, p7 = 1;

dp[5] = ( dp[p3]*3, dp[p5]*5, dp[p7]*7 ) = ( 15, 15, 21 ) --> 15;
p3 = 3, p5 = 2, p7 = 1;

dp[6] = ( dp[p3]*3, dp[p5]*5, dp[p7]*7 ) = ( 21, 25, 21 ) --> 21;
p3 = 4, p5 = 2, p7 = 2;

dp[7] = ( dp[p3]*3, dp[p5]*5, dp[p7]*7 ) = ( 27, 25, 35 ) --> 25;
p3 = 4, p5 = 3, p7 = 2;

dp[8] = ( dp[p3]*3, dp[p5]*5, dp[p7]*7 ) = ( 27, 35, 35 ) --> 27;
p3 = 5, p5 = 3, p7 = 2;
.....

解题步骤：

1. 定义一个数组，该数组按照顺序存放整个过程中产生的素数（K个素数），由题意可知，第一个元素为1;
2. 然后再定义三个指针p3,p5,p7：p3指向的数字永远乘3，p5指向的数字永远乘5，p7指向的数字永远乘7;
3. 从dp[p3]*3 , dp[p5]*5 , dp[p7]*7 选取最小的一个数字，作为新的素数，并移动对应的指针;
4. 重复执行上一步。
   这里基于的一个事实是，素数的数列是递增的，当p5指针在当前位置时，后面的数乘以5必然比前面的数乘以5大，所以下一个数必然是先考虑前面的数乘以5。p3,p7同理，所以才可以使用指针。

具体实现代码如下：

class Solution {
public:
    int getKthMagicNumber(int k) {
        vector<int> numArray;
        numArray.reserve(k);
        numArray[0] = 1;
        int p3=0,p5=0,p7=0;
        for(int i=1;i<k;++i) {
            numArray[i] = min(min(numArray[p3]*3,numArray[p5]*5),numArray[p7]*7);
            if(numArray[i] == numArray[p3]*3) ++p3;
            if(numArray[i] == numArray[p5]*5) ++p5;
            if(numArray[i] == numArray[p7]*7) ++p7;
        }
        return numArray[k-1];
    }
};

复杂度分析：

1. 时间复杂度：执行K次循环，因此时间复杂度为O(N);
2. 空间复杂度：整个处理过程中会保存K个素数，因此空间复杂度为O(N)。

AC结果：

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