什么是素数和质数，深度解读这两者之间的区别

一、发文目的

本文主要阐述素数的概念，以通俗易懂的方式形象的描述素数和合数究竟代表什么意思，以及找到一种方法能够求得给定的数值范围内的素数。

二、文章大纲

1，素数的概念

2，素数的形象的理解

3，什么是合数

4，为什么1不是素数

5，如何求给定范围内的素数

6，一个python求素数的例子

素数又称质数，英文名称是prime number。

三、文章内容

1，素数的概念

关于素数，也叫质数，从字面意思可以想象，这种数有着基本，本质，原子的意思，也就是说，这种数是不能够再拆分的，是一个基本的，独立的原子个体。素数的定义是指在除了1和此整数本身外,不能被其他自然数整除的数（1除外）。

2，素数的形象的理解

可以想象，有一堆苹果，n个。假设苹果是不可切割的，现在需要你去给这堆苹果等份分给若干人。

有两种可能的结果，一种是可以再分成若干等份；一种是不能够再分了，苹果保存原样的一堆。

针对第二种情况（保持原样，不能再分），这堆苹果可以看成下面两种情形：

a，以单个苹果为一个个体，可以分成n个人，1(个)*n(人)

b，以n个苹果为一个整体，可以分给1个人，n(个)*1(人)；

回到数的范畴，也就是说，如果一个整数n，只能被1或者自己整除，也就是说整数n只能表示为n=1*n，或者n=n*1的形式，即不能分成其他形式的等份了，那么这个数就叫做素数。

形象的理解为：一堆苹果，还是原来的那堆苹果，没有改变。

3，什么是合数

接着上面素数的概念，相反的情况，如果一堆苹果可以再分成n=a*b的形式（a,b不等于1或者n），那么就称n为合数。合数这个词，本身也代表了本身是可以由几个数合在一起的意思。

也以苹果为例，假设这堆苹果是15个，除了本身15这种状态之外，也可以分成3个一堆，共5堆（3*5）或者5个一堆，共3堆（5*3）这两种状态。即15不单单只能表示为15*1或者1*15，还可以表示成3*5或者5*3。也就是说，15除了被1和自己整除外，还可以被3或者5整除。

4，为什么1不是素数

其实，如果从本质的概念来说，1也可以称为素数，这个从上面的例子就可以看出。

之所以现在不能将1看成素数，原因在于，如果将1看成素数了，那么会使得合数的概念不统一。

合数，从上面第3点的分析，可以知道，合数n可以表示为n=a*b的形式（这里的a,b不等于1或者n）。

既然n=a*b，那么a,b有两种状态，要么是素数，要么是合数。why?

因为，数本身就只有这两种状态：要么只能被1或者本身整除，要么除此之外还能被其他数整除。因此，a,b这两个数可能是素数，可能是合数。

现在，我想对a,b做如下操作：如果是素数，则保持不变；如果是合数，那么继续分解为两个数的乘积的形式。

这样，一直持续操作下去，n=a*b，最终会以n=p1*p2*p3…的形式呈现（其中，p1,p2,p3…都是素数）。即一个合数，最终都会以素数的乘积表示。

现在回到本题的疑问，为什么1不是素数？

因为：1由于本身的特殊性（任意个1相乘还是1），导致一个合数n=p1*p2*p3，会有无数个表示式。即合数n，可以表示为：

n=p1*p2*p3

n=p1*p2*p3*1

n=p1*p2*p3*1*1

n=p1*p2*p3*1*1*1

……

所以，为了达到合数的表达式的唯一性，就人为的将1排除在了素数之外。

5，如何求给定范围内的素数

到这里，已经知道了素数和合数。那么如果想要求某个给定的数范围内的素数有哪些，应该怎么求。

比如，如何求10以内的素数？

根据常识，可以容易的想到10以内的素数有：2,3,5,7

如果不是10，而是100以内的素数呢？

难道是依次的去数，2,3,5,7,11,13,17,19…

如果不是100，而是1000以内的素数呢？

看来人为的靠自己的理解去数，会把自己数晕，不是解决问题的根本方法。

那么应该怎么去解决？

我认为，还是得从素数的概念入手：只能被1和自己本身整除的数。

也就是说，除了1和本身，不能被其他数整除的数。或者说，只要找到了一个能够被1和本身之外的数整除，那么就可以判定这个数就不是素数。

下面的目标，就是努力去找到这样的数。

先想一下不是素数的数是什么数？答案很明显，就是合数。合数有什么性质？合数可以表示为若干个素数的乘积。

既然是要求n以内的素数，那么肯定n以内的素数一定是在n以内；n以内的合数也是在n以内。n以内的合数可以表示为若干个素数的乘积，这里的素数也肯定是在n以内。

那么可以确定的知道n以内的某个合数必会至少能够被n以内的一个素数整除。如果能够找到这样的能够被n以内的合数整除的最大的素数k，那么就可以得到这样一组素数集（从2开始，最大值是k），将n以内的整数，依次与这组素数中的素数进行求余运算，根据求余结果是否是0，来判断整数是否是合数。即求余的结果不是0的整数就是素数了。

下面的问题是：已知整数范围n，如何求得能够被n以内的合数整除的最大的素数？

还是从合数的概念出发，一个合数必然可以表示为若干个素数的乘积。

至于合数分解成的素数的个数多少，这个就不确定了，可能是2个，也可能是3个，或者更多。

下面先给出一个结论：

假设一个合数m可以分解为3个素数的乘积，m=x1*x2*x3（x1<=x2<=x3），那么对m进行开3次方根，得到的结果取整数为i，i必然介于m的素数的中间，即i>=x1且i<=x3。以整数i内的素数构成一个素数集合g，那么g中必然存在素数x1；合数m越大，那么得到的i就越大，因而构成的素数集合g中的最大的素数也越大。设想，要使得找到最大的素数，那么必然要找到最大的i。在合数m最大的情况下，开方根次数越小，则此时找到的i才是最大的。那么开方次数最小是多少呢？显然就是开2次方根时（虽然开1次方根时，i最大，但此时的m就不是合数，而是素数了）。

那么，现在知道了，如何求一个给定的整数范围内的素数方法了：

1. 首先，对给定的整数，求平方根，得到i1（取整数）；
2. 然后，找到i1范围内的所有的素数，构成一个集合g
3. 接着，依次将给定的整数范围内的整数，对集合g的素数，依次取模，若结果是0，那么说明这个整数是合数，则排除之；否则就是素数，保留；
4. 以上收集的素数就是给定的整数范围内的所有的素数。

6，一个python求素数的例子

根据上面讨论的方法，现在用python实现一个程序来求给定的整数范围内的素数。

python实现的代码（求给定整数范围内的素数）

验证结果：