第一章-随机变量与概率估计

随机变量（random variable）表示随机试验各种结果的实值单值函数。
随机事件不论与数量是否直接有关，都可以数量化，即都能用数量化的方式表达。 
随机事件数量化的好处是可以用数学分析的方法来研究随机现象。
例如某一时间内公共汽车站等车乘客人数，电话交换台在一定时间内收到的呼叫次数，
灯泡的寿命等等，都是随机变量的实例。

在做实验时，常常是相对于试验结果本身而言，我们主要还是对结果的某些函数感兴趣。
例如，在掷骰子时，我们常常关心的是两颗骰子的点和数，而并不真正关心其实际结果，
就是说，我们关心的也许是其点和数为7，而并不关心其实际结果是否是
（1，6）或（2，5）或（3，4）或（4，3）或（5，2）或（6，1）。
我们关注的这些量，或者更形式的说，这些定义在样本空间上的实值函数，称为随机变量。
因为随机变量的值是由试验结果决定的，所以我们可以给随机变量的可能值指定概率。

简单地说，随机变量是指随机事件的数量表现。
例如一批注入某种毒物的动物，在一定时间内死亡的只数；
某地若干名男性健康成人中，每人血红蛋白量的测定值；
等等。另有一些现象并不直接表现为数量，例如人口的男女性别、
试验结果的阳性或阴性等，但我们可以规定男性为1，女性为0，
则非数量标志也可以用数量来表示。这些例子中所提到的量，
尽管它们的具体内容是各式各样的，但从数学观点来看，
它们表现了同一种情况，这就是每个变量都可以随机地取得不同的数值，
而在进行试验或测量之前，我们要预言这个变量将取得某个确定的数值是不可能的。
按照随机变量可能取得的值，可以把它们分为两种基本类型：
离散型
离散型（discrete）随机变量即在一定区间内变量取值为有限个或可数个。
例如某地区某年人口的出生数、死亡数，某药治疗某病病人的有效数、无效数等。
离散型随机变量通常依据概率质量函数分类，主要分为：伯努利随机变量、
二项随机变量、几何随机变量和泊松随机变量。
连续型
连续型（continuous）随机变量即在一定区间内变量取值有无限个，
或数值无法一一列举出来。例如某地区男性健康成人的身长值、体重值，
一批传染性肝炎患者的血清转氨酶测定值等。
有几个重要的连续随机变量常常出现在概率论中，
如：均匀随机变量、指数随机变量、伽马随机变量和正态随机变量。

下面举一个离散型变量的例子。

我们发现，离散型数据变量，可以给定一个具体的值，就能找到与他对应的有实际意义的值。
而连续性数据变量就不能这样做了。比如说，房产中介今天销售了2套房子/3套房子，都是
可以的，但是说销售了2.5套房子，这个就不可以了，但是连续变量又可以取到2.5.

 

什么是似然函数？
一句话概括：似然函数是参数的函数。

举个例子：
今天下雨这个结论我们已经知道了，现在在知道这个结论的情况下，
我们去探究一下，到底是A带来的可能性大，还是B带来的可能性大。
概率正好相反，是说，给你A和B，你来探究一下，在A的情况，下雨的可能性有多大，
在B的形况下，下雨的可能性有多大。

下面举个例子讲一下：
极大似然估计

下面就研究一下，极大似然估计到底怎么计算呢！

我们发现，这个计算需要累乘，计算起来就会麻烦。
所以，我们就采用取对数的方法，因为极值点保持不变。

举一个计算的例子。
例子中的具体详情可以暂时不搞清楚，主要先感受一下计算的处理。

按照上面的处理步骤，中间要求对数，再求偏导。