张量积型的Bernstein基函数

张量积型的Bernstein基函数

       所谓张量积型，或者乘积型的二元空间是指，他的基函数可以由一元基函数通过张量积（乘积）得到.例如，我们考虑两个分量的次数分别不超过m和n次的二元多项式空间$P_{m,n}$Pm,n​,可以由两个一元多项式空间$P_m$Pm​和$P_n$Pn​的张量积得到，即$P_{m,n} = P_m \bigotimes P_n$Pm,n​=Pm​⨂Pn​.因此
$\begin{aligned} a& = span{\left\{{(1,x,\cdots,x^m)\bigotimes(1,y,\cdots,y^m)}\right\}} \\ & = span\left\{x^iy^j,i = 0,1,\cdots,m,j = 0,1,\cdots,n\right\} \end{aligned}$a​=span{(1,x,⋯,xm)⨂(1,y,⋯,ym)}=span{xiyj,i=0,1,⋯,m,j=0,1,⋯,n}​
$P_{m,n}$Pm,n​空间的基函数$x^iy^j(i = 0,1,\cdots,m,j = 0,1,\cdots,n)$xiyj(i=0,1,⋯,m,j=0,1,⋯,n)对应的矩阵结构，

$\begin{matrix} 1 & x & x^2 & x^3 & \cdots \\ y & xy & x^2y & x^3y & \cdots \\ y^2 & xy^2 & x^2y^2 & x^3y^2 & \cdots \\ y^3 & xy^3 & x^2y^3 & x^3y^3 & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ \end{matrix}$1yy2y3⋮​xxyxy2xy3⋮​x2x2yx2y2x2y3⋮​x3x3yx3y2x3y3⋮​⋯⋯⋯⋯​
因此可以称为矩形上的多项式空间.
       由上可知，通过两组Bernstein基函数$B^m_i(u)$Bim​(u)和$B^n_j(v)$Bjn​(v)的张量积，就可以得到张量积型的二元Bernstein基函数

$B^{m,n}_{i,j} (u,v)= B^{m}_{i}(u)B^{n}_{j}(v),i = 0,1,\cdots,m,j = 0,1,\cdots,n$Bi,jm,n​(u,v)=Bim​(u)Bjn​(v),i=0,1,⋯,m,j=0,1,⋯,n

       下图给了三个张量积型的双二次Bernstein基函数$B^{2,2}_{0,0} (u,v)、B^{2,2}_{1,0} (u,v)$B0,02,2​(u,v)、B1,02,2​(u,v) 和$B^{2,2}_{1,1} (u,v)$B1,12,2​(u,v)在单位矩阵$[0,1]\times[0,1]$[0,1]×[0,1]上的图像.

二、相应的matlab程序

function bernstein_surf_bf
%bf:  basis function基函数
%张量积型的bernstein基函数
a = 0;
b = 1;
N = 40;
M = 50;
hx = (b-a)/N;
hy = (b-a)/M;
x = (a:hx:b)';                   %x：[0,1]区间N等分得到的向量
y = (a:hy:b)';                   %y：[0,1]区间M等分得到的向量
n = 2;
m = 2;
z = f(x,y,n,m,1,1);
figure(1)
surf(x,y,z)
title('B^{2,2}_{1,1}');

end

function z = f(x,y,n,m,N,M)        %n:n次bernstein基函数；m：m次bernstein基函数
[x,y] =meshgrid(x,y);              %N：n次bernstein基函数中取B(n,N)
z = B(x,n,N).*B(y,m,M);
end

function y = B(x,n,i)
y = k(n,i).*(x.^i).*((1-x).^(n-i));
end

function y = k(n,i)
y1 = factorial(n);            %n的阶乘
y2 = factorial(i)*factorial(n-i);
y = y1/y2;
end