一道有趣的面试题

前两天在刷leetcode的时候，遇到了一题Implement Rand10() Using Rand7()，rand7()可以给你等概率返回1-7的任意一个数，让你用rand7()实现一个rand10()，rand()可以等概率返回1-10的任意一个数。后来又在上网中不经意看到了另一题rand5()实现rand7()，更早些，我自己面试的过程中也遇到过类似的题。再早些在大二的时候，有个学姐在群里问过的一道她遇见的一道类似的面试题，我们先来从这道题开始，逐步剖析这种randX()–>randY()的题目怎么做。
　　当年网协有个09级的学姐面试时遇到一个问题，有个unFairRand()函数以80%的概率返回0，20%的概率返回1，请在unFairRand()的基础上实现一个fairRand()，能够以50% 50%的概率返回0和1，不允许使用各其他random函数。当时我给出了一个正确的解答，但没做过详细分析。
　　我的解答是这样的，用两次调unFairRand结果的组合来返回0或者1，两次结果是01就返回0，10就返回1，00或者11就重新算一次。01和10的概率都是16%。算一次就返回0和1的概率是32%，但还有68%的可能再算一次。不过不用担心，我们构造的函数不管内部计算多少次，只要返回1或者0，其概率是一样的，这也满足题目要求，代码如下。

    public int fairRand() {
        int x = unFairRand();
        int y = unFairRand();
        if (x == 1 && y == 0) {
            return 1;
        }
        else if (x == 0 && y == 1) {
            return 0;
        } else {
            return fairRand();
        }
    }

这时候让你算下，调用一次fairRand()后，unFairRand()被调用的期望是多少？公式如下，这个公式可以化简，貌似是高中的知识了，感觉我是化不出来了。

$E = 0.32*2 + 0.68*0.32*4 + 0.68*0.32*6 + .... +0.68^{(n-1)}*0.32*2n \ \ (n \rightarrow \infty)$E=0.32∗2+0.68∗0.32∗4+0.68∗0.32∗6+....+0.68(n−1)∗0.32∗2n  (n→∞)
　　接下来我们直接看下leetcode上这道Implement Rand10() Using Rand7()，rand10()除了严格等概率返回1-10之外，起始还限制你尽可能少调用rand7()。
　　调用两次加在一起，然后模10+1？貌似1-10的数字都有了，来看下分布表。
　　
　　明显可以看出，1-10每个数字分布肯定不是相等的。我们必须构造出一数表，使得1-10任意一个数在表里出现的频率是一样的，如下，构造出一个连续数表就可以了。
　　
　　如何构造，(rand7()-1)*7 + rand7()，就可以了，为什么是乘以7而不是6或者8，如果乘以其他的数，数表里的数就会有缺失或则重复计算，概率必然不一样了。举个例子，乘以8，14、15就多出现了。
　　Implement Rand10() Using Rand7()的解答如下。

    public int rand10() {
        int x = (rand7()-1)*7 + rand7();
        return x<=40 ? x%10 +1 : rand10();
    }

如果是rand5–>rand7呢？简单

    public int rand7() {
        int x = (rand5()-1)*5 + rand5();
        return x<=21 ? x%7 + 1 : rand7();
    }

为什么上面分别是x<=40和x<=21，而不是其他数字里，起始rand10里10，20，30，40都可以，rand7里7，14，21都可以。回顾下题目还有另一个要求，尽可能少调用给你的rand函数，从概率的角度来看，取的数越大，需要再次计算的几率就越小，调用给定函数的次数就越少。
　　至于调用次数的期望，我只给出rand7计算rand10的期望表达，rand5->rand7就留给你算了。
$E = 2*\frac{40}{42} + 4*\frac{2}{42}*\frac{40}{42} +....+2n*(\frac{2}{42})^{n-1}*\frac{40}{42} \ \ \ \ \ (n \rightarrow \infty)$E=2∗4240​+4∗422​∗4240​+....+2n∗(422​)n−1∗4240​     (n→∞)
　　如果是randM --> randN (M < N)呢？也简单。

    public int randN() {
        int x = (randM()-1)*M + randM();
        return x <= N*a ? x%N +1 : randN(); //这里a是使得调用次数最少的一个系数
    }