ST表的讲解

ST表的用处

ST表的功能很简单
它是解决RMQ问题(区间最值问题)的一种强有力的工具
它可以做到O(nlogn)预处理，O(1)查询最值。
听起来好像线段树也可以用o（nlogn）处理哦，但是为什么要用st表呢，因为你会发现st表的查询是o（1）的复杂度，一旦查询数量过多，显然就是只能用st表，其实就是预处理，然后运用了打表的操作。

算法

ST表是利用的是倍增的思想
拿最大值来说
我们用Max[i][j]表示，从i位置开始的1<<j个数中的最大值，例如Max[i][1]表示的是i位置和i+1位置中两个数的最大值
那么转移的时候我们可以把当前区间拆成两个区间并分别取最大值（注意这里的编号是从1开始的）

查询的时候也比较简单
我们计算出log2(区间长度)
然后对于左端点和右端点分别进行查询，这样可以保证一定可以覆盖查询的区间

刚开始学的时候我不太理解为什么从右端点开始查的时候左端点是r−2^k+1
实际很简单，因为我们需要找到一个点x，使得x+2^k−1=r
这样的话就可以得到x=r−2^k+1
上面讲的可能比较抽象，建议大家画个图好好理解一下

模板题

板子

注意有关位运算，最好都打上括号

int dpma[MAXN][60], dpmi[MAXN][60], n, m, a[MAXN];
void RMQ(){
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        dpmi[i][0] = a[i], dpma[i][0] = a[i];
    }
    for(int j = 1; (1 << j) <= n; j++){
        for(int i = 1; i + (1 << j) - 1 <= n; i++){
            dpma[i][j] = max(dpma[i][j - 1], dpma[i + (1 << (j - 1))][j - 1]);
            dpmi[i][j] = min(dpmi[i][j - 1], dpmi[i + (1 << (j - 1))][j - 1]);
        }
    }
}
int QueryMax(int l, int r){
    int k = log2(r - l + 1);
    return max(dpma[l][k], dpma[r - (1 << k) + 1][k]);
}
int QueryMin(int l, int r){
    int k = log2(r - l + 1);
    return min(dpmi[l][k], dpmi[r - (1 << k) + 1][k]);
}

再来一道有关st的题目讲解

题目链接

题意

给你一个长为n的序列a和一个常数k
有m次询问，每次查询一个区间[l,r]内所有数最少分成多少个连续段，使得每段的和都 <= k
如果这一次查询无解，输出"ChthollyChtholly" 1 <= n , m <= 1e6 , 1 <= ai , k <= 1e9

题目思路

前言

看到题目还是没有什么思路，感觉和st表沾不上边。。
其实我觉得运用st表的问题就是看查询次数是否够多。够多就去想st表，而且要想如何定义dp倍增数组
这个题目就是st[i][j]表示从i开始分1<<j段最多到哪个位置的前面

正题

预处理 前缀和 ST表
分两种情况考虑：

输出"ChthollyChtholly" ，这种情况ai>k，用ans数组维护是否[L,R]范围内存在ai>k的情况。
输出[L,R] 范围内所有数最少分成多少个连续段。首先预处理计算前缀和，利用二分查找前缀和的方式初始化st[i][0]，st[i][j]表示从第i个位置开始分2^j段，最多能到第几个位置的前面。

注意

倍增跳跃的时候选择从大到小开始遍历，能跳大的且不超过R的时候先跳大的。
例如5=4+1如果从小的开始找就会出现5!=1+2+4然后回溯在到5=1+4所以要倒着来。

代码

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=1e6+5;
int n,m,k,a[maxn],st[maxn][22],ans[maxn];
ll pre[maxn];
//st[i][j]表示从i开始分1<<j段最多到哪个位置的前面 
void getst(){
	for(int i=1;i<=n;i++){
		st[i][0]=upper_bound(pre+1,pre+1+n,pre[i-1]+k)-pre;
		//注意st[n][0]=n+1; 
	}
	for(int j=1;(1<<j)<=n;j++){
		for(int i=1;i+(1<<j)<=n;i++){
			st[i][j]=st[st[i][j-1]][j-1];
		}
	}
}
int main(){
	scanf("%d %d %d",&n,&m,&k);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		scanf("%d",&a[i]);
		pre[i]=pre[i-1]+a[i];//前缀和 
		ans[i]=ans[i-1]+(a[i]>k);//表示前i个数中有多少个大于k的数 
	}
	getst();	
	while(m--){
		int l,r,res=1;
		scanf("%d %d",&l,&r);
		if(ans[r]-ans[l-1]>0){
			printf("Chtholly\n");
		}else{
		//这里注意要从大的开始跳，一个数总能从大的开始表示二进制，从小的开始可能会出现回溯
        //例如5=4+1如果从小的开始找就会出现5!=1+2+4然后回溯在到5=1+4所以要倒着来
			for(int i=20;st[l][0]<=r;i--){
				if(st[l][i]&&st[l][i]<=r){//这里之所以st[L][i]要非0，是因为如果从L跳2^i超过了R，则st[L][i]却为0的情况
					l=st[l][i];
					res+=(1<<i);
				}
			}
			printf("%d\n",res);
		}
	}
	return 0;
}

参考链接
https://www.cnblogs.com/zwfymqz/p/8581995.html
https://ac.nowcoder.com/acm/problem/blogs/15429