解方程 ( 迭代法/牛顿迭代/高斯消元 ) 详解及模板
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一.迭代法解方程 ( 组 ) 的根
本篇一、二部分转自“星博”：https://blog.csdn.net/Akatsuki__Itachi/article/details/80719686
首先，迭代法解方程的实质是按照下列步骤构造一个序列x0,x1,…,xn,来逐步逼近方程f(x)=0的解:
1）选取适当的初值x0；
2）确定迭代格式，即建立迭代关系，需要将方程f(x)=0改写为x=φ(x)的等价形式；
3) 构造序列x0，x1，……，xn，即先求得x1=φ(x0)，再求x2=φ(x1)，……如此反复迭代，就得到一个数列x0， x1，……，xn，若这个数列收敛，即存在极值，且函数 φ(x)连续，则很容易得到这个极限值,x*就是方程f(x)=0的根。
举个例子：
求解方程： f(x) =x^3-x-1=0 在区间 （1，1.5）内的根。
首先我们将方程写成这种形式：
用初始根x0=1.5带入右端，可以得到
这时，x0和x1的值相差比较大，所以我们要继续迭代求解，将x1再带入公式得
直到我们我们得到的解的序列收敛，即存在极值的时候，迭代结束。
下面是这个方程迭代的次数以及每次xi的解（i=0,1,2....）
我们发现当k=7和8的时候，方程的解已经不再发生变化了，这时候我们就得到了此方程的近似解。
算法核心：
#define eps 1e-8
int main()
{
x0=初始近似根；
do{
x1=x0;
x0=g(x1); //按特定的方程计算新的近似根
}while(fabs(x0-x1)>Epsilon);
printf("方程的近似根是%f\n",x0);
}
注意：如果方程无解，算法求出的近似根序列就不会收敛，那么迭代过程就会变成死循环。因此，在使用迭代算法前应先考察方程是否有解，并在算法中对迭代次数给予限制。
下面再写一个求解方程组的例子加深一下理解：
算法说明：
方程组解的初值X=（x0，x1，…，xn-1）,迭代关系方程组为：xi=gi(X)(i=0,1,…,n-1),w为解的精度,maxn为迭代次数。
算法如下：
int main()
{
for (i=0;i<n;i++)
x[i]=初始近似根
do{
k=k+1;
for(i=0;i<n;i++）
y[i]=x[i];
for(i=0;i<n;i++)
x[i]=gi(X); //按特定的方程计算新的近似根
for(i=0;i<n;i++)
c=c+fabs(y[i]-x[i]);//c要每次重新设初值为0
}while(c>w and k<maxn );
for(i=0;i<n;i++)
print("变量的近似根是"，x[i]);
}
选取初始向量
精确度为1e-8，迭代次数为10.
求解代码如下：
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#define eps 1e-8
using namespace std;
const int maxn=100;
double x[10],y[10];
int main()
{
for(int i=1;i<=4;i++)
x[i]=0;
int cnt=0;
double c=0;
do{
for(int i=1;i<=4;i++)
y[i]=x[i];
for(int i=1;i<=4;i++)
{
x[1]=(6+x[2]-2*x[3])/10;
x[2]=(25+x[1]+x[3]-3*x[4])/11;
x[3]=(-11-2*x[1]+x[2]+x[4])/10;
x[4]=(15-3*x[2]+x[3])/8;
}
c=0;
for(int i=1;i<=4;i++)
c+=(fabs(y[i]-x[i]));
}while(c>eps&&cnt<maxn);
for(int i=1;i<=4;i++)
printf("x%d = %.4lf\n",i,x[i]);
}
运行结果如下：
迭代法求解方程的过程是多样化的，比如牛顿迭代法，二分逼近法求解等。
二.牛顿迭代法
下面就是效率比较高且比较常用的牛顿迭代法：
牛顿迭代法又称为切线法，它比一般的迭代法有更高的收敛速度，如下图所示。
首先, 选择一个接近函数f(x)零点的x0, 计算相应的f(x0)和切线斜率f'(x0)（这里f ' 表示函数f的导数）。然后我们计算穿过点 (x0,f (x0))且斜率为f '(x0)的直线方程
和x轴的交点的x的坐标，也就是求如下方程的解
将新求得交点的x坐标命名为x1。如图4所示，通常x1会比x0更接近方程f(x) = 0的解。接下来用x1开始下一轮迭代 .
迭代公式可化简为：
上式就是有名的牛顿迭代公式。已经证明, 如果f' 是连续的, 并且待求的零点x是孤立的, 那么在零点x周围存在一个区域, 只要初始值x0位于这个邻近区域内, 那么牛顿法必定收敛。
求形如ax^3+bx^2+cx+d=0方程根的算法，系数a、b、c、d的值依次为1、2、3、4，由主函数输入。求x在1附近的一个实根。求出根后由主函数输出。
由以上的公式可得到代码：
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#define eps 1e-8
using namespace std;
int main()
{
double a,b,c,d;
cin>>a>>b>>c>>d;
double x1=1,x,f,fx;
do{
x=x1;
f=((a*x+b)*x+c)*x+d;
fx=(3*a*x+2*b)*x+c;
x1=x-f/fx;
}while(fabs(x1-x)>=eps);
printf("%.2lf",x1);
}
结果如下：
三.二分逼近法
接下来说一下二分逼近法：
用二分法求解方程f(x)=0根的前提条件是：f(x)在求解的区间[a,b]上是连续的，且已知f(a)与f(b)异号，即 f(a)*f(b)<0。
令[a0,b0]=[a,b]，c0=(a0+b0)/2，若f(c0)=0，则c0为方程f(x)=0的根；否则，若f(a0)与f(c0)异号，即 f(a0)*f(c0)<0，则令[a1,b1]=[a0,c0]；若f(b0)与f(c0)异号，即 f(b0)*f(c0)<0，则令[a1,b1]=[c0,b0]。
依此做下去，当发现f(cn)=0时，或区间[an,bn]足够小，比如| an-bn |<0.0001时，就认为找到了方程的根。
例：
用二分法求一元非线性方程f(x)= x^3/2+2x^2-8=0（其中^表示幂运算）在区间[0，2]上的近似实根r，精确到0.0001.
算法如下：
int main( )
{
double x,x1=0,x2=2,f1,f2,f;
print(“input a,b (f(a)*f(b)<0)”);
input(a,b);
f1=x1*x1*x1/2+2*x1*x1-8;
f2=x2*x2*x2/2+2*x2*x2-8;
if(f1*f2>0)
{
printf("No root");
return;
}
do{
x=(x1+x2)/2;
f=x*x*x/2+2*x*x-8;
if(f=0)
break;
if(f1*f>0.0)
{
x1=x;
f1=x1*x1*x1/2+2*x1*x1-8;
}
else
x2=x;
}
while(fabs(f)>=1e-4);
print("root=",x);
}
三.高斯消元入门详解及模板
此部分主要讲述解方程的方法，便于以后查找，转载于dalao博客：https://blog.csdn.net/pengwill97/article/details/77200372，先感谢大佬。
1、基本描述
学习一个算法/技能，首先要知道它是干什么的，那么高斯消元是干啥的呢？
高斯消元主要用来求解线性方程组，也可以求解矩阵的秩，矩阵的逆。在ACM中是一个有力的数学武器.
它的时间复杂度是n^3，主要与方程组的个数，未知数的个数有关。
那么什么是线性方程组呢?
简而言之就是有多个未知数，并且每个未知数的次数均为一次，这样多个未知数组成的方程组为线性方程组。
2、算法过程
其实高斯消元的过程就是手算解方程组的过程，回忆一下小的时候怎么求解方程组：加减消元，消去未知数，如果有多个未知数，就一直消去，直到得到类似kx=b（k和b为常数，x为未知数）的式子，就可以求解出未知数x，然后我们回代，依次求解出各个未知数的值，就解完了方程组。
换句话说，分两步：
1). 加减消元
2). 回代求未知数值
高斯消元就是这样的一个过程。
下面通过一个小例子来具体说明
0).求解方程组
有这样一个三元一次方程组：
⎧⎩⎨⎪⎪2x+y+z=16x+2y+z=−1−2x+2y+z=7①②③{2x+y+z=1①6x+2y+z=−1②−2x+2y+z=7③
1).消去x
①×(−3)+②①×(−3)+②得到
0x−y−2z=−40x−y−2z=−4
①+③①+③得到
0x+3y+2z=80x+3y+2z=8
从而得到
⎧⎩⎨⎪⎪2x+y+z=10x−y−2z=−40x+3y+2z=8①②③{2x+y+z=1①0x−y−2z=−4②0x+3y+2z=8③
2).消去y
②×3+③②×3+③得到
0x+0y−4z=−40x+0y−4z=−4
进而得到
⎧⎩⎨⎪⎪2x+y+z=10x−y−2z=−40x+0y−4z=−4①②③{2x+y+z=1①0x−y−2z=−4②0x+0y−4z=−4③
至此，我们已经求解出来了
z=1z=1
下一步我们进行回代过程
3).回代求解y
将z=1z=1带入②②，求得
y=2y=2
进而得到
⎧⎩⎨⎪⎪2x+y+z=1y=2z=1①②③{2x+y+z=1①y=2②z=1③
4).回代求解x
将z=1,y=2z=1,y=2带入①①，求得
x=−1x=−1
最终得到
⎧⎩⎨⎪⎪x=−1y=2z=1①②③{x=−1①y=2②z=1③
至此，整个方程组就求解完毕了。
3、再解算法
对于方程组，其系数是具体存在矩阵(数组)里的，下面在给出实际在矩阵中的表示（很熟悉就可以跳过不看啦~）
0).求解方程组
⎡⎣⎢⎢⎢⎢x26−2y122z111val117⎤⎦⎥⎥⎥⎥[xyzval21116211−2217]
1).消去x
⎡⎣⎢⎢⎢⎢x200y1−13z1−22val1−48⎤⎦⎥⎥⎥⎥[xyzval21110−1−2−40328]
2).消去y
⎡⎣⎢⎢⎢⎢x200y1−10z1−2−4val1−4−4⎤⎦⎥⎥⎥⎥[xyzval21110−1−2−400−4−4]
3).回代求解y
回代的时候，记录各个变量的结果将保存在另外一个数组当中，故保存矩阵的数组值不会发生改变，该矩阵主要进行消元过程。
⎡⎣⎢⎢⎢⎢x200y1−10z1−2−4val1−4−4⎤⎦⎥⎥⎥⎥[xyzval21110−1−2−400−4−4]
4、再再解算法
说了这么多，其实有一些情况我们还没有说到。
通过上述的消元方法，其实我们比较希望得到的是一个上三角阵(省去了最后的val)
⎡⎣⎢⎢2001−101−2−4⎤⎦⎥⎥[2110−1−200−4]
下面问题来了：
Q1：系数不一定是整数啊？
A1：这时候数组就要用到浮点数了！不能是整数！
Q2：什么时候无解啊？
A2：消元完了，发现有一行系数都为0，但是常数项不为0，当然无解啦！比如：
⎡⎣⎢⎢⎢⎢x200y1−10z1−20val1−45⎤⎦⎥⎥⎥⎥[xyzval21110−1−2−40005]
Q3：什么时候多解啊？
A3：消元完了，发现有好几行系数为0，常数项也为0，这样就多解了！有几行为全为0，就有几个*元，所谓*元，就是这些变量的值可以随意取，有无数种情况可以满足给出的方程组，比如：
⎡⎣⎢⎢⎢⎢x200y100z100val100⎤⎦⎥⎥⎥⎥[xyzval211100000000]
您说这x,y,z不是无数组解嘛！
Q4：那什么时候解是唯一的啊！
A4：您做一下排除法，不满足2和3的，不就是解释唯一的嘛！其实也就是说我们的系数矩阵可以化成上三角阵。
5、代码实现
啰里啰嗦说了一堆，想必算法的流程已经熟悉了，那么高斯消元如何用代码实现呢？
戳这里有更多类型的 高斯消元模板。
(以下参考kuangbin大牛的模板)
#include<stdio.h>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<string.h>
#include<math.h>
using namespace std;
const int MAXN=50;
int a[MAXN][MAXN];//增广矩阵
int x[MAXN];//解集
bool free_x[MAXN];//标记是否是不确定的变元
int gcd(int a,int b)
{
if(b == 0) return a;
else return gcd(b,a%b);
}
inline int lcm(int a,int b)
{
return a/gcd(a,b)*b;//先除后乘防溢出
}
// 高斯消元法解方程组(Gauss-Jordan elimination).(-2表示有浮点数解，但无整数解，
//-1表示无解，0表示唯一解，大于0表示无穷解，并返回*变元的个数)
//有equ个方程，var个变元。增广矩阵行数为equ,分别为0到equ-1,列数为var+1,分别为0到var.
int Gauss(int equ,int var)
{
int i,j,k;
int max_r;// 当前这列绝对值最大的行.
int col;//当前处理的列
int ta,tb;
int LCM;
int temp;
for(int i=0; i<=var; i++)
{
x[i]=0;
free_x[i]=true;
}
//转换为阶梯阵.
col=0; // 当前处理的列
for(k = 0; k < equ && col < var; k++,col++) // 枚举当前处理的行.
{
// 找到该col列元素绝对值最大的那行与第k行交换.(为了在除法时减小误差)
max_r=k;
for(i=k+1; i<equ; i++)
{
if(abs(a[i][col])>abs(a[max_r][col]))
max_r=i;
}
if(max_r!=k) // 与第k行交换.
{
for(j=k; j<var+1; j++)
swap(a[k][j],a[max_r][j]);
}
if(a[k][col]==0) // 说明该col列第k行以下全是0了，则处理当前行的下一列.
{
k--;
continue;
}
for(i=k+1; i<equ; i++) // 枚举要删去的行.
{
if(a[i][col]!=0)
{
LCM = lcm(abs(a[i][col]),abs(a[k][col]));
ta = LCM/abs(a[i][col]);
tb = LCM/abs(a[k][col]);
if(a[i][col]*a[k][col]<0)
tb=-tb;//异号的情况是相加
for(j=col; j<var+1; j++)
a[i][j] = a[i][j]*ta-a[k][j]*tb;
}
}
}
// 1. 无解的情况: 化简的增广阵中存在(0, 0, ..., a)这样的行(a != 0).
for (i = k; i < equ; i++) // 对于无穷解来说，如果要判断哪些是*变元，那么初等行变换中的交换就会影响，则要记录交换.
{
if (a[i][col] != 0)
return -1;
}
// 2. 无穷解的情况: 在var * (var + 1)的增广阵中出现(0, 0, ..., 0)这样的行，即说明没有形成严格的上三角阵.
// 且出现的行数即为*变元的个数.
if (k < var)
{
return var - k; // *变元有var - k个.
}
// 3. 唯一解的情况: 在var * (var + 1)的增广阵中形成严格的上三角阵.
// 计算出Xn-1, Xn-2 ... X0.
for (i = var - 1; i >= 0; i--)
{
temp = a[i][var];
for (j = i + 1; j < var; j++)
{
if (a[i][j] != 0)
temp -= a[i][j] * x[j];
}
if (temp % a[i][i] != 0)
return -2; // 说明有浮点数解，但无整数解.
x[i] = temp / a[i][i];
}
return 0;
}
int main(void)
{
int i, j,equ,var;
while (scanf("%d %d", &equ, &var) != EOF)
{
memset(a, 0, sizeof(a));
for (i = 0; i < equ; i++)
for (j = 0; j < var + 1; j++)
scanf("%d", &a[i][j]);
int free_num = Gauss(equ,var);
if (free_num == -1)
printf("无解!\n");
else if (free_num == -2)
printf("有浮点数解，无整数解!\n");
else if (free_num > 0)
{
printf("无穷多解! *变元个数为%d\n", free_num);
for (i = 0; i < var; i++)
{
if (free_x[i])
printf("x%d 是不确定的\n", i + 1);
else
printf("x%d: %d\n", i + 1, x[i]);
}
}
else
{
for (i = 0; i < var; i++)
printf("x%d: %d\n", i + 1, x[i]);
}
printf("\n");
}
return 0;
}