[NOIP2016]蚯蚓(单调性证明)

Solution

问题描述
本题中，我们将用符号 ⌊c⌋⌊c⌋ 表示对 cc 向下取整，例如：⌊3.0⌋=⌊3.1⌋=⌊3.9⌋=3⌊3.0⌋=⌊3.1⌋=⌊3.9⌋=3。

蛐蛐国最近蚯蚓成灾了！隔壁跳蚤国的跳蚤也拿蚯蚓们没办法，蛐蛐国王只好去请神刀手来帮他们消灭蚯蚓。

蛐蛐国里现在共有 nn 只蚯蚓（nn 为正整数）。每只蚯蚓拥有长度，我们设第 ii 只蚯蚓的长度为 aiai (i=1,2,…,ni=1,2,…,n)，并保证所有的长度都是非负整数（即：可能存在长度为 00 的蚯蚓）。

每一秒，神刀手会在所有的蚯蚓中，准确地找到最长的那一只（如有多个则任选一个）将其切成两半。神刀手切开蚯蚓的位置由常数 pp（是满足 0<p<10<p<1 的有理数）决定，设这只蚯蚓长度为 xx，神刀手会将其切成两只长度分别为 ⌊px⌋⌊px⌋ 和 x−⌊px⌋x−⌊px⌋ 的蚯蚓。特殊地，如果这两个数的其中一个等于 00，则这个长度为 00 的蚯蚓也会被保留。此外，除了刚刚产生的两只新蚯蚓，其余蚯蚓的长度都会增加 qq（是一个非负整常数）。

蛐蛐国王知道这样不是长久之计，因为蚯蚓不仅会越来越多，还会越来越长。蛐蛐国王决定求助于一位有着洪荒之力的神秘人物，但是救兵还需要 mm 秒才能到来……（mm 为非负整数）

蛐蛐国王希望知道这 mm 秒内的战况。具体来说，他希望知道：

mm 秒内，每一秒被切断的蚯蚓被切断前的长度（有 mm 个数）；
mm 秒后，所有蚯蚓的长度（有 n+mn+m 个数）。
蛐蛐国王当然知道怎么做啦！但是他想考考你……

输入
从标准输入读入数据。

第一行包含六个整数 n,m,q,u,v,tn,m,q,u,v,t，其中：n,m,qn,m,q 的意义见【问题描述】；u,v,tu,v,t 均为正整数；你需要自己计算 p=u/vp=u/v（保证 0<u<v0<u<v）；tt 是输出参数，其含义将会在【输出格式】中解释。

第二行包含 nn 个非负整数，为 a1,a2,…,ana1,a2,…,an，即初始时 nn 只蚯蚓的长度。

同一行中相邻的两个数之间，恰好用一个空格隔开。

保证 1≤n≤1051≤n≤105，0≤m≤7×1060≤m≤7×106，0<u<v≤1090<u<v≤109，0≤q≤2000≤q≤200，1≤t≤711≤t≤71，0≤ai≤1080≤ai≤108。

输出
输出到标准输出。

第一行输出 ⌊mt⌋⌊mt⌋ 个整数，按时间顺序，依次输出第 tt 秒，第 2t2t 秒，第 3t3t 秒，……被切断蚯蚓（在被切断前）的长度。

第二行输出 ⌊n+mt⌋⌊n+mt⌋ 个整数，输出 mm 秒后蚯蚓的长度；需要按从大到小的顺序，依次输出排名第 tt，第 2t2t，第 3t3t，……的长度。

同一行中相邻的两个数之间，恰好用一个空格隔开。即使某一行没有任何数需要输出，你也应输出一个空行。

请阅读样例来更好地理解这个格式。

样例一
input
3 7 1 1 3 1
3 3 2

output
3 4 4 4 5 5 6
6 6 6 5 5 4 4 3 2 2

explanation
在神刀手到来前：33 只蚯蚓的长度为 3,3,23,3,2。

11 秒后：一只长度为 33 的蚯蚓被切成了两只长度分别为 11 和 22 的蚯蚓，其余蚯蚓的长度增加了 11。最终 4 只蚯蚓的长度分别为 (1,2),4,3(1,2),4,3。括号表示这个位置刚刚有一只蚯蚓被切断。

22 秒后：一只长度为 44 的蚯蚓被切成了 11 和 33。55 只蚯蚓的长度分别为：2,3,(1,3),42,3,(1,3),4。

33 秒后：一只长度为 44 的蚯蚓被切断。66 只蚯蚓的长度分别为：3,4,2,4,(1,3)3,4,2,4,(1,3)。

44 秒后：一只长度为 44 的蚯蚓被切断。77 只蚯蚓的长度分别为：4,(1,3),3,5,2,44,(1,3),3,5,2,4。

55 秒后：一只长度为 55 的蚯蚓被切断。88 只蚯蚓的长度分别为：5,2,4,4,(1,4),3,55,2,4,4,(1,4),3,5。

66 秒后：一只长度为 55 的蚯蚓被切断。99 只蚯蚓的长度分别为：(1,4),3,5,5,2,5,4,6(1,4),3,5,5,2,5,4,6。

77 秒后：一只长度为 66 的蚯蚓被切断。1010 只蚯蚓的长度分别为：2,5,4,6,6,3,6,5,(2,4)2,5,4,6,6,3,6,5,(2,4)。

所以，77 秒内被切断的蚯蚓的长度依次为 3,4,4,4,5,5,63,4,4,4,5,5,6。77 秒后，所有蚯蚓长度从大到小排序为 6,6,6,5,5,4,4,3,2,26,6,6,5,5,4,4,3,2,2。

样例二
input
3 7 1 1 3 2
3 3 2

output
4 4 5
6 5 4 3 2

explanation
这个数据中只有 t=2t=2 与上个数据不同。只需在每行都改为每两个数输出一个数即可。

虽然第一行最后有一个 66 没有被输出，但是第二行仍然要重新从第二个数再开始输出。

样例三
input
3 7 1 1 3 9
3 3 2

output

2

explanation
这个数据中只有 t=9t=9 与上个数据不同。

注意第一行没有数要输出，但也要输出一个空行。

Solution

这道题的暴力思路就是讲所有东西放进一个堆里，然后维护最值、不断去除堆首即可。

但是这么做的时间复杂度是$O(n\ log\ m)$O(n log m),可以拿到六十分的高分；现在我们思考如何拿到满分。

我们这道题的主要思路是将堆转化为队列，首要做法就是证明单调性：

• 设第i条蚯蚓的长度是$a[i]$a[i],第$j$j条蚯蚓的长度是$a[j]$a[j],若此时$a[i]$a[i]是一只最长的蚯蚓，则：
  第$i$i只蚯蚓会分成两条，长度分别是：$a[i]*p$a[i]∗p和$a[i]*(i-p)$a[i]∗(i−p),
  剩下一只的长度为$a[j]+q$a[j]+q。
• 经过$k-1$k−1单位时间后，则：
  第$i$i条蚯蚓分开后长$a[i]*p+q*(k-1)$a[i]∗p+q∗(k−1)和$a[i]*(1-p)+q*(k-1)$a[i]∗(1−p)+q∗(k−1)。
  第$j$j条蚯蚓长$a[j]+q*k$a[j]+q∗k。
• 此时要砍第j条蚯蚓，则：
  第$i$i条蚯蚓分开后长$len_1=a[i]*p+q*k$len1​=a[i]∗p+q∗k和$len_2=a[i]*(1-p)+q*k$len2​=a[i]∗(1−p)+q∗k
  第$j$j条蚯蚓分开后长$len_3=(a[j]+q*k)*p=a[j]*p+q*k*p$len3​=(a[j]+q∗k)∗p=a[j]∗p+q∗k∗p,
  和$len_4=(a[j]+q*k)*(p-1)=a[j]*(p-1)+q*k*(p-1)$len4​=(a[j]+q∗k)∗(p−1)=a[j]∗(p−1)+q∗k∗(p−1)
• 此时由于$0&lt;p&lt;1且a[i]&gt;a[j]$0<p<1且a[i]>a[j],则有$len_1&gt;len_3且len_2&gt;len_4$len1​>len3​且len2​>len4​。

上述单调性证明得到了一个结论：当前长度最大的蚯蚓砍掉后，会分成两个占p和占(1-p)长度的蚯蚓；占p的这个蚯蚓的长度一定大于接下来砍蚯蚓以后占p的蚯蚓；占(1-q)的蚯蚓同样大于接下来砍掉的蚯蚓中占(1-q)的蚯蚓。

因此我们开三个队列，一个存放出初始的，一个存放占$p$p的，一个存放占$(1-p)$(1−p)的，那么只要每次在三个队列中取出最大值，分割后分表放到队列2和队列3中即可。

现在有一个很烦人的$q$q，即蚯蚓会涨，这么如何处理呢？

• 我们可以将每一次进队的蚯蚓的长度都减去$i_1*q$i1​∗q,每一次出队时都增加$i_2*q,$i2​∗q,此时就会得到差值$(i_2-i_1)*q$(i2​−i1​)∗q就能够起到增长的作用。

然后就十分开心的得到代码了：

#include <bits/stdc++.h>
#define LL long long
using namespace std;
LL n,m,Q,u,v,t,sum=0,s1=0,s2=0;
LL ans1[10000000];
LL a[10000000];
queue<LL>q[4];
bool cmp(LL a,LL b) {
    return a>b;
}
LL findmax(void)
{
    LL top1,top2,top3;
    top1=top2=top3=-INT_MAX;
    if (q[1].size()) top1=q[1].front();
    if (q[2].size()) top2=q[2].front();
    if (q[3].size()) top3=q[3].front();
    if (top1>=top2 && top1>=top3) q[1].pop();
    else if (top2>=top1 && top2>=top3) q[2].pop();
    else if (top3>=top1 && top3>=top2) q[3].pop();
    return max(max(top1,top2),top3);
}
int main(void)
{
	freopen("earthworm.in","r",stdin);
	freopen("earthworm.out","w",stdout);
    scanf("%lld %lld %lld",&n,&m,&Q);
    scanf("%lld %lld %lld",&u,&v,&t);
    for (LL i=1;i<=n;++i) 
        scanf("%lld",a+i);
    sort(a+1,a+n+1);
    for (LL i=n;i;--i) q[1].push(a[i]);
    for (LL i=1;i<=m;++i)
    {
        LL Max=findmax()+(i-1)*Q;
        LL len1=Max*u/v;
        LL len2=Max-len1;
        q[2].push(len1-Q*i);
        q[3].push(len2-Q*i);
        ans1[++s1]=Max;
    }
    LL s=q[1].size()+q[2].size()+q[3].size();
    for (LL i=1;i<=s1/t;++i) 
        printf("%lld ",ans1[i*t]);
    printf("\n");
    for (LL i=1;i<=s;++i)
    {
    	LL ans=findmax()+Q*m;
    	if (i%t==0) printf("%lld ",ans);
    }
    return 0;
}