noip2017.D2.T2宝藏

题目：https://www.luogu.org/problemnew/show/P3959

Problem：

任选一个点为根，拓展边，拓展一条边的代价为这条边的长度*这条边的起点的深度，求拓展成为一棵树(包含所有点)的最小代价。

Solution：

首先这不是最小生成树。。。

由于n<=12所以可以考虑状压dp

代价的计算与深度有关，所以状态要考虑深度

于是就用$f_{i,j}$fi,j​表示点集j已经联通，这些点中最大深度为i的最小代价

考虑转移

最大深度为i的点集j，可以由最大深度为i-1的点集s扩展而来，或者说点集s扩展得到的点集为s1(s1并不一定联通)，s与s1一起组成点集j。现在需要计算的是由点集s扩展得到点集s1的最小边权和，可以由点集s1中的点向点集s中的点连一条边，最短那条边即为这个点与点集s联通的最小边权，统计一下。设$d_{s,s1}$ds,s1​表示点集s扩展得到点集s1的最小边权和

转移方程：
$f_{i,j}=min( f_{i-1,s}+d_{s,s1}*(i-1) )$fi,j​=min(fi−1,s​+ds,s1​∗(i−1))

可能点集s1中的一些点连向点集s中的边起点深度小于i-1,这养似乎会使答案偏大，但是这就说明这个点可以加入点集s(因为它与点集s联通最大深度仍是i-1),所以在枚举点集s的时候会枚举到这种情况，不会漏解。

Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,a[20][20];
long long d[(1<<12)][(1<<12)],ans=1e9,f[20][1<<12];
int main()
{
	//freopen(".in","r",stdin);
//	freopen(".out","w",stdout);
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for (int i=1;i<=n;i++)
	  for (int j=1;j<=n;j++)
	    a[i][j]=1e9;
	for (int i=1;i<=m;i++)
	{
		int xx,yy,zz;
		scanf("%d%d%d",&xx,&yy,&zz);
		if (zz<a[xx][yy])
			a[xx][yy]=zz,a[yy][xx]=zz;
	}
	int x=(1<<n)-1;
	for (int i=x;i;i=(i-1)&x)
	  for (int j=i^x;j;j=(j-1)&(i^x))
	  {
		  int s1=j;
		  for (;s1;s1-=s1&(-s1))
		  {
		  	int j1=log2(s1&(-s1))+1;
		  	int Min=1e9;
				int s=i;
		  	for (;s;s-=s&(-s))
		  	{
		  		int i1=log2(s&(-s))+1;
		  		Min=min(Min,a[i1][j1]);
		    }
		    d[i][j]+=Min;
		  }
	  } 
	memset(f,10,sizeof(f));
	for (int i=1;i<=n;i++) f[1][1<<(i-1)]=0;
  for (int i=2;i<=n;i++)
		for (int s=x;s;s=(s-1)&x)
		  for (int s1=(s-1)&s;s1;s1=(s1-1)&s)
		    f[i][s]=min(f[i][s],f[i-1][s1]+d[s1][s^s1]*(i-1));
  for (int i=1;i<=n;i++) ans=min(ans,f[i][x]);
  cout<<ans;
  return 0;
}