欢迎您访问程序员文章站本站旨在为大家提供分享程序员计算机编程知识!
您现在的位置是: 首页

RMQ问题——ST算法

程序员文章站 2024-03-19 19:09:28
...

前言

OI竞赛里常考到区间极值(RMQ,Range Minimum/Maximum Query)问题
解决RMQ问题可以用多种算法or数据结构,线段树、ST算法、高级的树状数组等
这篇blog讲的是ST算法

(我曾经写过线段树的blog,有兴趣可以去看看)


不墨迹,直接上例题吧

例题

problem

题目描述

2008年9月25日21点10分,酒泉卫星发射中心指控大厅里,随着指挥员一声令下,长征二号F型火箭在夜空下点火起飞,神舟七号飞船载着翟志刚、刘伯明、景海鹏3位航天员,在戈壁茫茫的深邃夜空中飞向太空,开始人类漫步太空之旅。第583秒,火箭以7.5公里/秒的速度,将飞船送到近地点200公里、远地点350公里的椭圆轨道入口。而此时,火箭的燃料也消耗殆尽,即将以悲壮的方式与飞船告别。这个过程,在短短不到10分钟时间内,翟志刚和他的两名战友体会到了从超重到失重的过程。

除了超重和失重的感觉之外,就是浩瀚的长空中璀璨的星星,和地面上看到的星星不同,在太空中看到的星星是成一条直线的,一共有N(1<=N<=100,000)颗星星,编号为1到N,每个星星有自己的体积,由于在飞船中很无聊,除了不停地玩弄手中失重的书和笔之外没有别的事可干,此时翟志刚说我们来玩游戏吧,一共玩了M轮(1<=M<=100,000),每一轮都是给出两个整数L和R(1<=L<=R<=N),询问第L到第R颗星星之间最大星星的体积,每次答对的人就可以多休息一段时间。

由于翟志刚还要进行太空漫步,所以他现在请你帮忙,你得到的回报就是太空饼干。

输入

第一行输入N,M

接下来一行N个整数,表示星星的体积(1<=体积<=maxlongint)

接下来M行,每行两个整数L_i,R_i,表示询问区间。

输出

输出M行,每一行表示询问区间L_i到R_i之间最大星星的体积。

样例输入

6 3 5 7 3 9 2 10 1 3 2 4 3 6

样例输出

7 9 10

数据范围限制

提示

【数据说明】

50%的数据满足1<=N,M<=5000


一道求区间极值的裸题,但是你不可能用O(NM)的时间复杂度去求
不用线段树之类的数据结构维护,那么就用ST算法

ST算法

ST算法的核心思想是DP

核心的预处理

f[i,j]表示[i,i+2j1]区间里的最大值
明显地,初始化f[i,0]=a[i],因为[i,i+20]=[i]
DP方程即为f[i,j]=max(f[i,j1],f[i+2j1,j1])

通过下面这张图,我们能很清楚地看出ST算法的构造
RMQ问题——ST算法

以上是预处理的过程


how to 询问?

如何询问呢?
比如现在我们询问的是[l,r]的极值,设k=int(log2(rl+1)),那么——
RMQ问题——ST算法
两个区间的max合起来一定是[l,r]的max,MAX(l,r)=max(f[l,k],f[r2k+1,k])


以上就是ST算法所有的知识点
ST算法预处理时间复杂度O(nlog2n),总时间复杂度O(nlog2n+q)
空间复杂度O(nlog2n)


code

#include<bits\stdc++.h>

using namespace std;

int f[100001][20];
int n,m;

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for (int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d",&f[i][0]);
    }
    for (int j=1;j<=floor(log2(n));j++)
    for (int i=1;i<=n+1-(1<<j);i++)
    {
        f[i][j]=max(f[i][j-1],f[i+(1<<(j-1))][j-1]);
    }
    for (int i=1;i<=m;i++)
    {
        int l,r;
        scanf("%d%d",&l,&r);
        int k=floor(log2(r-l+1));
        printf("%d\n",max(f[l][k],f[r+1-(1<<k)][k]));
    }
    return 0;
}
相关标签: 算法 RMQ