CSAPP——数据在计算机内部的表示（整型与浮点型）

一.数据类型

  在冯偌依曼体系结构中，程序代码和数据都是以二进制存储的，对计算机系统和硬件本身而言，数据类型的概念并不存在，任何数据在计算机内部都是0/1序列。这里讲的数据类型是以C语言为基础的，下面的这张图概括了C语言中主要的数据类型。

  那么对于一串0/1序列 我们怎么知道该数值数据代表的值是多少呢？所以为了确定一个数值数据，我们必须确定数值数据表示的三要素：

1. –进位计数制
2. –定、浮点表示
   （解决小数点问题）
3. 如何用二进制编码
   （解决正负号问题）

  下面主要来讲一讲整型数据和浮点数据的相关表示。

二.整型

1.类别

整型数据分为：无符号整数 和 带符号整数
有符号数和无符号数的区别主要在于有没有最高位的符号位，以及由此带来的计算方式的不同。符号位中，0 表示非负数，1 表示负数。
在32位机器上long int 为4个字节，而在64位机器上，long int为8个字节！

2.表示范围

可以发现，带符号数的最大值TMax = 2^(w-1)-1 （w为位数）与最小值TMin = $-2^（w-1）， 这两个数的绝对值并不相等，为了弄清楚这个问题，我们必须知道定点数的编码表示。

3.定点数的编码表示方式

1.原码

符号位：正号用0表示，负号用1表示，其它数字位代表数值本身的绝对值。
采用原码表示，虽然容易理解，但是会带来很多麻烦:

• 0的表示不唯一，不利于程序员编程；
• 加、减运算方式不；
• 需要额外对符号位进行处理，不利于硬件设计。

所以，从50年代开始，整数都采用补码表示。浮点数的尾数还是用原码定点小数表示（下面相应部分将会讲到）

2.反码

  如果是正数，则表示方法和原码一样；如果是负数，符号位不变，其余各位取反，则得到这个数字的反码表示形式。（反码很少用到）

3.补码-模运算

（1）如何求得补码

    如果是正数，则表示方法和原码一样；如果是负数，则将数字的反码加上1即得到它的补码；

    举个例子：  为了简便，这里只定义位数w=4。

• -5的原码是1101；

• 将除符号位的其余位置取反得到反码1010；

• 末尾加1，得补码：1011

（2）补码与真值的关系

当我们知道一个数的补码，要求它的真值，可以采用以下两种方式：

• （1）看符号位！ 若符号位为0，则为正数，其值就是后面的数值部分的值；若符号位为1，则为负数，将数值位各位取反，再加1,取结果为负值。
      举例：0110，其值为0 * 1+1 * 2+1*4=6；
                1110值就等于将110取反再加1的值，即：110---->001---->010，所以其值为-2。

• （2）公式：
  因为能力有限，只能在word里打出来这个公式，且不能复制过来，只好截图了。
  解释一下：w是这个数据的位数，k是从0开始计数的序数，如：第一位的k=0，第二位的k=1,以此类推…
  
  对于上面的补码1110=- 2^3+(1 * 2+1*4) = -2

有了这个公式，就可以解开上面提到的那个问题：最大值比最小值的绝对值小1。

（3）模运算概念：

  在一个模运算系统中，一个数与它除以“模”后的余数等价！

    举个例子：时钟就是一种模12系统。如果现在是时针指向8点，要将它拨向6点，则有两种拨法：

• 倒拨2格：8-2=6
• 顺拨10格： 8+10=16； （mod 12）

模12系统中：8-2=8+10   (mod 12)
                     -2=10            (mod 12)
则称-2是10对模12的补码。

4.有无符号数的转换

转换公式：当TMin< T<0时:U=2^w+T； (T为补码）

注意点： 如果一个表达式既包含有符号数也包含无符号数，那么会被隐式转换成无符号数进行比较 $s=UAdd_w(u,v)=u+v \; mod \; 2^w$s=UAddw​(u,v)=u+vmod2w

三.浮点数

1.IEEE754标准

在 IEEE 标准中，我们用下面的公式来表达浮点数：

$(-1)^s \; M \; 2^E$(−1)sM2E
其中 s 是符号位，决定正负；M 通常是一个值在 [1.0, 2.0) 的小数；E 是次方数。具体编码时结构如下，这里用单精度、双精度和扩展精度为例：
其中 s 对应着符号位，exp 对应着 E（注意，不一定等于 E，因为位数限制表达能力有限），frac 对应着 M（注意，不一定等于 M，因为位数限制表达能力有限）。不同的位数就代表了不同的表示能力，也就是单精度，双精度，扩展精度的来源。

规范化值(Normalized Values)

这里的 E 是一个偏移的值 $E=Exp-Bias$E=Exp−Bias，其中
Exp: 是 exp 编码区域的无符号数值
Bias：值为 $2^{w-1} - 1$2w−1−1 的偏移量，其中w 是 exp 编码的位数，也就是说
单精度：127（Exp: 1…254, E: -126…127）
双精度：1023（Exp: 1…2046, E: -1022…1023）
之所以需要采用一个偏移量，是为了保证 exp 编码只需要以无符号数来处理。

而对于 M，一定是以 1 开头的：也就是 $M=1.xxx…x_2$M=1.xxx…x2​。其中 xxx 的部分就是 frac 的编码部分，当 frac=000.00 的时候值最小（$M=1.0$M=1.0），当 frac=111。。。1 的时候值最大（$M=2.0-\epsilon$M=2.0−ϵ），也就是说开头的 1 是免费附送的，并不需要实际的编码位。

举个例子，float F = 15213.0;，那么

$15213_{10}=11101101101101_2=1.1101101101101_2 \times 2^{13}$1521310​=111011011011012​=1.11011011011012​×213

于是 frac 部分的值就是小数点后面的数值，而 Exp = E + Bias = 13 + 127 = 140 = $10001100_2$100011002​，于是编码出来的浮点数是这样的：
                             0 10001100 11011011011010000000000

非规范化值(Denormalized Values)

当 $exp = 000…0$exp=000…0 的时候，值是非规范化的，意思是，虽然实数轴上原来连续的值会被规范到有限的定值上，但是并些定值之间的间距也是一样的。

$v=(-1)^s \; M \; 2^E$v=(−1)sM2E

和前面不同的是

$E = 1 - Bias$E=1−Bias

而且 $M=0.xxx…x_2$M=0.xxx…x2​，不是以 1 开头了。

当 exp=000…0 且 frac = 000…0 时，表示 0，而且因为符号位的缘故，实际上是有 +0 和 -0 两种的。而在 exp=000…0 且 $frac \ne 000…0$frac̸​=000…0 时，数值是接近 0 的，并且间距是一致的

特殊值

还有一种特殊情况，就是 $exp = 111…1$exp=111…1 时，表示一些特殊值。

当 exp=111…1 且 frac = 000…0 时，表示 $\infty$∞，而且因为符号位的缘故，实际上是有 $+\infty$+∞ 和 $-\infty$−∞ 两种的。那些会溢出的操作就会用这个来表示，比如 $1.0/0.0=-1.0/0.0=+\infty\;,\;1.0/-0.0=-\infty$1.0/0.0=−1.0/0.0=+∞,1.0/−0.0=−∞

而在 exp=111…1 且 $frac \ne 000…0$frac̸​=000…0 时，我们认为这不是一个数值（Not-a-Number，NaN），用来表示那些没办法确定的值，比如 $sqrt(-1),\infty-\infty,\infty\times 0$sqrt(−1),∞−∞,∞×0

2.浮点数精度

浮点数精度主要是由尾数部分决定的，有效的位数部分越长，其精度越高（单精度浮点数尾数部分部分最高为23位，双精度浮点数最高为51位）。一个0/1序列的浮点数可以准确对应一个小数，而一个小数却不一定能表示成0/1序列
61.419998和61.420002是两个可表示数，两者相差0.000004，这之间的数是不可表示的，当输入的数据是一个不可表示数时，机器数将其转换为最邻近的可表示数。
看下面的代码：

#include <stdio.h>
int main()
{
	float a;
	printf("请输入：\n");
	scanf("%f",&a);
	printf("x=%f",a);
	return 0;
}

测试

参考资料、网站：

• https://wdxtub.com/csapp/thin-csapp-1/2016/04/16/（不周山作品集）
• https://www.icourse163.org/learn/NJU-1001625001?tid=1205931209#/learn/content?type=detail&id=1210291298&cid=1212230667（南京大学开设的“计算机系统基础”系列课程）