九章算法-动态规划概述
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文章目录
D1 动态规划概述
动态规划的组成状态
- 确定状态
- 最后一步（最优策略中使用的最后一枚硬币ak）
- 化成子问题（最少的硬币拼出更小的面值27-ak）
- 确定转移方程
- f[x]=min{f[x-2]+1,f[x-5]+1,f[x-7]+1}
- 初始条件和边界情况
- f[0]=0，如果不能拼出Y，f[Y]=正无穷
- 计算顺序
- 一般从小到大（避免重复计算）
最值型-硬币
Problem
你有三种硬币，分别面值2元，5元和7元，每种硬币都有足够多，买一本书需要27元，如何用最少的硬币组合正好付清，不需要对方找钱
// A:{2,5,7} M:27
public int coinChange(int[] A,int M){
//0...n-1 :[n]
//0...n :[n+1]
int[] f = new int[M+1];//这里要用到27，故开辟M+1
int n = A.length;//硬币的个数
f[0]=0;
int i,j;
//f[1],f[2],...,f[27]
for(i=1;i<=M;i++){
f[i]=Integer.MAX_VALUE;
//f[i]=min{f[i-A[0]]+1,...,f[i-A[n-1]]+1}
for(j=0;j<n;j++){
//如果数组不越界，且不超出最大值
if(i>A[j] && f[i-A[j]]!=Integer.MAX_VALUE){
f[i]=Math.min{f[i-A[j]]+1,f[i]};
}
}
}
if(f[M]==Integer.MAX_VALUE){
f[M]=-1;
}
return f[M];
}
计数型-机器人
Problem
给定m行n列的网格，有一个机器人从左上角(0,0)出发，每一步可以向下或者向右走一步，问有多少种不同的方式走到右下角(m-1,n-1)
public int uniquePaths(int m,int n){
int[][] f = new int[m][n];
int i,j;
for(i=0;i<m;i++){
for(j=0;j<n;j++){
if(i==0||j==0)
f[i][j]=1;
else
f[i][j] = f[i-1][j] + f[i][j-1];
}
}
}
存在型-青蛙跳石子
Problem
有n块石头分别在x轴的0，1，。。。，n-1位置.一只青蛙在石头0，像跳到石头n-1。如果青蛙在第i块石头上，他最多可以向右跳距离ai。问青蛙能否跳到石头n-1
Example
Input:a=[2,3,1,1,4]
Output:True
Input:a=[3,2,1,0,4]
Output:False
public boolean canJump(int[] A){
int n = A.length;
boolean[] f = new boolean[n];
f[0]=true;//initialization
for(int j=1;j<n;j++){
f[j] = false;
//previous stone i
//last jump is from i to j
for(int i=0;i<j;i++){
if(f[i]&&i+A[i]>=j){
f[j] = true;
break;
}
}
}
return f[n-1];
}
机器人2（坐标型）
Problem
一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为“Start” ）。机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为“Finish”）。现在考虑网格中有障碍物。那么从左上角到右下角将会有多少条不同的路径？
public int uniquePathsWithObstacles(int[][] A){
int m = A.length;
if(m==0){
return 0;
}
int n = A[0].length;
if(n==0){
return 0;
}
int[][] f = new int[m][n];
int i,j;
for(i=0;i<m;i++){
for(j=0;j<n;j++){
//Obstacles
if(A[i][j]==1){
f[i][j]=0;
continue;
}
//top-left
if(i==0&&j==0){
f[i][j]=1;
continue;
}
f[i][j]=0;
//若不为第一行
if(i>0){
f[i][j]+=f[i-1][j];
}
//若不为第一列
if(j>0){
f[i][j]+=f[i][j-1];
}
//若两个条件都成立，则为f[i][j]=f[i-1][j]+f[i][j-1];
}
}
return f[m-1][n-1];
}
leetcode256-粉刷房子（序列型）
题目描述
假如有一排房子，共 n 个，每个房子可以被粉刷成红色、蓝色或者绿色这三种颜色中的一种，你需要粉刷所有的房子并且使其相邻的两个房子颜色不能相同。
当然，因为市场上不同颜色油漆的价格不同，所以房子粉刷成不同颜色的花费成本也是不同的。每个房子粉刷成不同颜色的花费是以一个 n x 3 的矩阵来表示的。
例如，costs[0][0] 表示第 0 号房子粉刷成红色的成本花费；costs[1][2]表示第 1 号房子粉刷成绿色的花费，以此类推。请你计算出粉刷完所有房子最少的花费成本。
注意：
所有花费均为正整数。
示例：
输入: [[17,2,17],[16,16,5],[14,3,19]]
输出: 10
解释: 将 0 号房子粉刷成蓝色，1 号房子粉刷成绿色，2 号房子粉刷成蓝色。
最少花费: 2 + 5 + 3 = 10。
分析
确定状态：
- 不知道房子N-2是什么颜色，就把它记录下来
- 分别记录油漆前N-1栋房子并且房子N-2是红色、蓝色、绿色的最小花费
**子问题：**设油漆前i栋房子并且房子i-1是红色、蓝色、绿色的最小花费分别为f[i][0]、f[i][1]、f[i][2]
转移方程：
f[i][0]=min{f[i-1][1]+cost[i-1][0],f[i-1][2]+cost[i-1][0]}f[i][1]=min{f[i-1][0]+cost[i-1][1],f[i-1][2]+cost[i-1][1]}f[i][2]=min{f[i-1][0]+cost[i-1][2],f[i-1][1]+cost[i-1][2]}
public int minCost(int[][] c){
int n = c.length;
if(n==0){
return 0;
}
//sequence type DP
int[][] f = new int[n+1][3];
f[0][0]+f[0][1]+f[0][2]=0;
int i,j,k;
for(i=1;i<=n;i++){
//color of house i-1: j
for(j=0;j<3;j++){
f[i][j]=Integer.MAX_VALUE;
//color of house i-2: k
for(k=0;k<3;k++){
if(j!=k){
f[i][j]=Math.min(f[i][j],f[i-1][k]+c[i-1][j]);
}
}
}
return Math.min(f[n][0],Math.min(f[n][1],f[n][2]));
}
}
Decode Ways
题意：
有一段由A-Z组成的字母串信息被加密成数字串，加密方式为：A->1，B->2，… ,Z->26，给定加密后的数字串S[0…N-1]，问有多少种方式解密成字母串
样例
Input
12
Output
2（AB or L）
分析
状态：设数字串S前i个数字解密成字母串有f[i]种方式
转移方程：设数字串S前i个数字解密成字母串有f[i]种方式
f[i] = f[i-1]|S[i-1]对应一个字母 + f[i-2]|S[i-2]S[i-1]对应一个字母
- 数字串S前i个数字解密成字母串的方式数
- 数字串S前i-1个数字解密成字母串的方式数
- 数字串S前i-2个数字解密成字母串的方式数
public int numDecodings(String ss){
char[] s = ss.toCharArray();
int n = s.length;
if(n==0)return 0;
int[] f = new int[n+1];
f[0]=1;
int i,j;
for(i=1;i<=n;i++){
f[i]=0;
if(s[i-1]>='1'&&s[i-1]<='9'){
f[i]+=f[i-1];
}
//check whether i>1
if(i>1){
//s[i-1][i-1]
j=10*(s[i-2]-'0')+(s[i-1]-'0');
if( j>=10 && j<=26){
f[i] += f[i-2];
}
}
}
return f[n];
}
2020年7月9日更
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