什么是拓扑排序及其Python实现

参考视频：数据结构与算法基础–第11周09–6.6图的应用9–6.6.3拓扑排序

一，有向无环图

1.1 什么是有向无环图

有向无环图：无环的有向图，简称：DAG图（Directed Acycline Graph）

1.2 有向无环图的应用

• 有向无环图常用来描述一个工程或系统的进行过程。（通常把计划、施工、生产、程序流程等当成是一个工程）
• 一个工程可以分为若干个子工程，只要完成了这些子工程（活动），就可以导致整个工程的完成。

1.3 如何表示子工程（活动）

AOV 网（拓扑排序）

• 用一个有向图表示一个工程的各子工程及其相互制约的关系，其中以顶点表示活动，弧表示活动之间的优先制约关系，称这种有向图为顶点表示活动的网，简称 AOV网（Activity On Vertex network）。

AOE 网（关键路径）

• 用一个有向图表示一个工程的各子工程及其相互制约的关系，以弧（边）表示活动，以顶点表示活动的开始或结束事件，称这种有向图为边表示活动的网，简称为 AOE网（Activity On Edge）。

二，拓扑排序

拓扑排序引例：排课表

• 使用定点来表示课程
• 可以直观的表现出该课程有哪些先修课程
  

2.1 AOV 网的特点

• 若从 i 到 j 有一条有向路径，则 i 是 j 的前驱；j 是 i 的后继。
• 若 < i, j > 是网中有向边，则 i 是 j 的直接前驱；j 是 i 的直接后继。
• AOV 网中不允许有回路，因为如果有回路存在，则表明某项活动以自己为先决条件，显然这是不合理的。

2.2 拓扑排序

2.2.1 定义与方法

定义

• 在 AOV网没有回路的前提下，我们将全部活动排列成一个线性序列，使得若 AOV网中有弧 < i, j > 存在，则在这个序列中，i 一定排在 j 的前边，具有这种性质的线性序列称为拓扑有序序列，相应的拓扑有序排序的算法称为拓扑排序。

拓扑排序的方法

1. 在有向图中选一个没有前驱的顶点；
   
2. 从图中删除该顶点和所有以它为尾的弧 ；
   
3. 重复上述两步，直至全部顶点均已输出；或者当图中不存在无前驱的定点为止。

因为每次选择无前驱顶点时都是随机的，所以可能会出现排序结果不同的情况，如下所示。

2.2.2 检测 AOV网中是否存在回路

检测AOV网中是否存在环的方法：

• 对有向图构造其顶点的拓扑有序序列，若网中所有的顶点都在它的拓扑有序序列中，则该 AOV网必定不存在环。
• 例如下图，c₃、c₆、c₈ 互为前驱和后继，不可能在拓扑排序中被选中和删除，最终会被留下。
  

三，Python实现拓扑排序

参考：菜鸟教程 - Python 拓扑排序

from collections import defaultdict 
 
class Graph: 
    def __init__(self,vertices): 
        self.graph = defaultdict(list) 
        self.V = vertices
  
    def addEdge(self,u,v): 
        self.graph[u].append(v) 
  
    def topologicalSortUtil(self,v,visited,stack): 
  
        visited[v] = True
  
        for i in self.graph[v]: 
            if visited[i] == False: 
                self.topologicalSortUtil(i,visited,stack) 
  
        stack.insert(0,v) 
  
    def topologicalSort(self): 
        visited = [False]*self.V 
        stack =[] 
  
        for i in range(self.V): 
            if visited[i] == False: 
                self.topologicalSortUtil(i,visited,stack) 
  
        print (stack) 
  
g= Graph(6) 
g.addEdge(5, 2); 
g.addEdge(5, 0); 
g.addEdge(4, 0); 
g.addEdge(4, 1); 
g.addEdge(2, 3); 
g.addEdge(3, 1); 
  
print ("拓扑排序结果：")
g.topologicalSort()
>>>拓扑排序结果：[5, 4, 2, 3, 1, 0]