空间中判断点在三角形内算法(方程法)

文章目录

• 1. 概述
• 2. 详论
• 3. 参考

1. 概述

三维空间中判断点在三角形内外的算法与平面中有所不同，《平面中判断点在三角形内算法(同向法)》中提到的算法在三维空间中已经无法生效，也很难利用上。一个最简单的思路就是，获取三角形的空间向量方程，判断点是否能让这个空间向量方程成立。

2. 详论

2.1. 原理

在我的另外一篇文章《空间射线与三角形相交算法的两种实现》中提到了三角形的空间向量方程。对于三个顶点为V0，V1，V2组成的空间三角形，对于三角形内的任一点P，有如下参数方程：
P ⃗ = ( 1 − u − v ) V 0 ⃗ + u V 1 ⃗ + v V 2 ⃗ \vec{P} = (1 - u - v) \vec{V_0} + u \vec{V_1} + v \vec{V_2} P =(1−u−v)V0​ ​+uV1​ ​+vV2​ ​

变换位置，有：
P ⃗ − V 0 ⃗ = ( V 0 ⃗ − V 1 ⃗ ) u + ( V 0 ⃗ − V 2 ⃗ ) v \vec{P} - \vec{V_0} = (\vec{V_0} - \vec{V_1}) u + (\vec{V_0} - \vec{V_2}) v P −V0​ ​=(V0​ ​−V1​ ​)u+(V0​ ​−V2​ ​)v
V 0 P ⃗ = ( V 0 V 1 ⃗ ) u + ( V 0 V 2 ⃗ ) v \vec{V_0P} = (\vec{V_0V_1}) u + (\vec{V_0V_2}) v V0​P ​=(V0​V1​ ​)u+(V0​V2​ ​)v

其中，u，v是未知的，而使用的向量是三维向量。显然，这是一个超定方程组。求解这个方程组，如果解是矛盾的，说明点不在空间三角形内；否则，点可能在三角形上。

2.2. 实现

具体的C++代码如下：

//空间三角形
//按照逆时针顺序插入值并计算法向量
template <class T>
class Triangle
{
public:
    Vec3<T> v0;
    Vec3<T> v1;
    Vec3<T> v2;

    Vec3<T> vn;

    Vec3<T> min;
    Vec3<T> max;

    Triangle()
    {

    }

    Triangle(Vec3<T> v0, Vec3<T> v1, Vec3<T> v2)
    {
        this->v0 = v0;
        this->v1 = v1;
        this->v2 = v2;

    }

    void Set(Vec3<T> v0, Vec3<T> v1, Vec3<T> v2)
    {
        this->v0 = v0;
        this->v1 = v1;
        this->v2 = v2;
    }


    // 判断点P是否在空间三角形内
    bool PointInTriangle3D(Vec3<T>& P)
    {
        auto v0p = P - v0;
        auto v0v1 = v1 - v0;
        auto v0v2 = v2 - v0;

        double D = v0v1.x() * v0v2.y() - v0v1.y() * v0v2.x();
        if(D == 0.0)
        {
            return false;
        }

        double D1 = v0p.x() * v0v2.y() - v0p.y() * v0v2.x();
        double D2 = v0v1.x() * v0p.y() - v0v1.y() * v0p.x();

        double u = D1/D;
        double v = D2/D;

        double eps = v0v1.z() * u + v0v2.z() * v - P.z();
        if(u >= 0 && v >= 0 && u + v <= 1 && abs(eps) < 0.000001)
        {
            return true;
        }

        return false;
    }

这里采取的算法是，通过x，y分量组成的两个方程式解出方程组的暂时u、v。然后将u、v带入到z分量方程式，检查能否保证z分量方程式成立。如果成立，且满足三角形内部点方程的条件（u >= 0， v >= 0， u + v <= 1），说明点在空间三角形上，反之，点在空间三角形外。

3. 参考

1. 《平面中判断点在三角形内算法(同向法)》
2. 《空间射线与三角形相交算法的两种实现》

详细代码