矩阵第一讲

程序员文章站 2024-03-16 09:40:58

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矩阵

特殊矩阵

1.零矩阵
    所有矩阵的所有元素全都为0
2.对角矩阵
    一个n阶方阵除对角线上的所有元素都为0
2.数量矩阵
    对角矩阵中对角线上元素为常数，
3.单位矩阵
    数量矩阵中对角线上上常数为1.
4.行阶梯矩阵
    一个矩阵的每个非零行（元素不全为零）的非零首元（第一个非零元素）所在列的下标随着行标的增大，并且严格增大。并且元素全为0的行（如果有点话）均在非零行的下方。
5.行最简矩阵
    一个行阶梯形矩阵的每一个非零行的非零首元为1，且此非零首元的所在列其余元素均为0.
6.三角矩阵
    一个方阵的主对角线上（下）的元素都为0，则此矩阵称为上（下）三角矩阵，统称为三角矩阵

矩阵的基本运算

1.加
2.减
3.乘
每一行乘以每一列，第一行乘以所有列得出新的一行。满足结合律、分配律。
4.矩阵的转置
把矩阵A的行依次换成同序数的列得到的矩阵称为矩阵A的转置矩阵A^T

分块矩阵

基本概念：对于阶数比较高矩阵A，在计算过程中经常采用“矩阵分块法”，他可以使矩阵化为较低阶矩阵的运算。

常用的分块矩阵

1.按列分块
2.按行分块

基本运算

1）分块矩阵的加法
2）分块矩阵的数乘
3）分块矩阵的乘法

矩阵及分块矩阵的应用

1.线性方程组的表示形式

设线性方程组`T`

⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ a 11 x 1 a n 1 x 1 + + a 12 x 2 a n 2 x 2 + + \dots ⋮ \dots + a 1 n x n + a n n x n = = b 1 b n

令A=

⎛ ⎝ ⎜ ⎜ a 11 a n 1 a 12 a n 2 \dots ⋮ \dots a 1 m a n m ⎞ ⎠ ⎟ ⎟

⎛ ⎝ ⎜ ⎜ x 1 ⋮ x n ⎞ ⎠ ⎟ ⎟

⎛ ⎝ ⎜ ⎜ b 1 ⋮ b n ⎞ ⎠ ⎟ ⎟

则可以用`AX=b`来表示线性方程组T。

2.线性变换

n个变量x<sub>1</sub>,x<sub>2</sub>....x<sub>n</sub>与m个变量y<sub>1</sub>,y<sub>2</sub>....y<sub>m</sub>之间的关系式

⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ a 11 x 1 a n 1 x 1 + + a 12 x 2 a n 2 x 2 + + \dots ⋮ \dots + a 1 n x n + a n n x n = = y 1 y n

令A=

⎛ ⎝ ⎜ ⎜ a 11 a n 1 a 12 a n 2 \dots ⋮ \dots a 1 m a n m ⎞ ⎠ ⎟ ⎟

⎛ ⎝ ⎜ ⎜ x 1 ⋮ x n ⎞ ⎠ ⎟ ⎟

⎛ ⎝ ⎜ ⎜ y 1 ⋮ y n ⎞ ⎠ ⎟ ⎟

则可以用y=AX来表示线性方程式。当A=

(c o s θ s i n θ - s i n θ c o s θ)

是，y=Ax是旋转变化，即

{c o s （ θ ） x 1 s i n （ θ ） x 1 - + s i n （ θ ） x 2 c o s （ θ ） x 2 = = y 1 y n

可以将平面上的任意点P(x₁,x₂)旋转到P’（y₁,y₂）。

初等变换和初等矩阵

初等变换

矩阵的下面三种变换统称为矩阵的初等变换：
1.交换矩阵的第i,j两行（列）记作r_i <->r _j(c_i <->c _j)
2.用不为0的数k去乘矩阵的第i行（列），记作kr_i（kc_i）
3.把矩阵的第j行（列）乘以数k加到第i行（列），记作r_i+kr_j(c_i+kc_i)
上面三种变换分别称为对换变换、倍乘变换和倍加计算。初等行、列变换统称为初等变换。

逆矩阵

矩阵AB=BA=E，则说明B是A的逆矩阵，记作A’.并非所有的非零方阵都是可逆的。

矩阵的行列式

余子式：把n阶行列式|A|中的元素a_ij所在的第i行与第j列删去后，剩下的n-1阶行列式称为元素a_ij的余子式M_ij。
代数余子式:将（-1）^i+jM_ij称作代数余子式。
伴随矩阵：将矩阵A中的所有元素a_ij求出代数余子式，并替换。

矩阵的秩

k阶非零子式：设A为m*n矩阵，在矩阵A中任取k行k列（k<=m&&k<=n）,位于这些行列相交处的元素按照原来的顺序所组成的k阶行列式，称为矩阵A的k阶子式。
定义：设A为n阶方阵，如果|A|！=0，称A为非奇异矩阵，如果r（A）=n,称A为满秩矩阵。