神经元模型篇_Izhikevich模型

Izhikevich Model

参考

[1] IZHIKEVICH QUADRATIC MODEL FOR SPIKING NEURONS

[2] 神经妙算

[3] 原始论文

[4] 快速了解

[5] Izhikevich神经元控制参数对可塑性神经元网络动力学的影响

• Izhikevich博士于2003年提出，使用二叉树对HH数学上的简化
• 对神经元的简化，最简化的是只保留firing rate
• 于HH与LIF之间进行计算复杂与动态性能的权衡

对二次整合神经元的改进：

出发点：

HH神经元无疑是生物可解释性最强的，但参数太多，计算复杂，因此需要基于合理的假设作出比较好的妥协。二次整合神经元相较于整合发放神经元（IF）脉冲不是人为添加，而是靠二次函数短时间内快速上升。
$Cv^{\prime} = k(v-v_{rest})(v-v_{thresh}) + I(t)\\ if\ v \geq v_{peak},\ \ \ then\ v\leftarrow c$Cv′=k(v−vrest​)(v−vthresh​)+I(t)if v≥vpeak​,   then v←c
优点：
1、平滑的脉冲生成机制和脉冲的自动上冲
2、硬的峰后自动复位

使用分叉方法将HH模型简化为二阶常微分方程，Izhikevich在上述基础上加入恢复变量，使得神经元具有更加丰富的动态特性，而没有显著提高计算复杂度。
$C\frac{dv}{dt} = k(v-v_r)(v-v_t)-u+S\\ \frac{du}{dt} = a(b(v-v_r)-u)\\ if\ \ v\geq v_{peak}, \ \ then \ \ v \leftarrow c,\ \ u \leftarrow u+d$Cdtdv​=k(v−vr​)(v−vt​)−u+Sdtdu​=a(b(v−vr​)−u)if  v≥vpeak​,  then  v←c,  u←u+d

各参数意义：

参数	含义	典型值	单位
a	$u$u的时间常数，用于膜电势缓慢恢复	0.02	$ms^{-1}$ms−1
b	$u$u对$v$v的依赖程度参数	0.2	$10^{-9}\Omega^{-1}$10−9Ω−1
c	脉冲后reset的值	-65mV	$mV$mV
d	reset后$u$u增加程度	2
S	刺激，包括兴奋的、抑制的、内部的、噪声等		$p A$pA
v	膜电势		$m V$mV
u	恢复变量		$pA$pA
vt	瞬时阈值电位		$mV$mV
vr	静息电位		$m V$mV

u是膜电位恢复变量，主要用于统计火花钾离子和钝化钠离子的流动规律，并对膜电位起负反馈作用。

每个参数对神经元的动态性能都是有影响的（可以进行实验仿真）

• 在一定范围内，恢复变量的时间尺度参数的存在一个能够决定网络放电节律中$\gamma$γ节律是否存在的临界值；此外时间尺度参数的变化会影响$\gamma$γ节律出现的时间
• 恢复变量对膜电位的依赖程度参数能够影响可塑性网络的放电行为，低依赖程度参数下的网络，可能会出现体现无标度性质的“单神经元放电”放电行为

简化模型：

$p^\prime = 0.04v^2+5v+140-u+I\\ u^\prime = a(bv-u)\\ if \ \ v>30mV, \ \ then \ \ \ v\leftarrow c,\ \ \ u\leftarrow u+d$p′=0.04v2+5v+140−u+Iu′=a(bv−u)if  v>30mV,  then   v←c,   u←u+d

• $0.04v^2+5v+140$0.04v2+5v+140的取值是为了将膜电势限制在mv水平，时间限制在ms水平，选用其他参数亦可

动态特性

能模拟丰富的脉冲形式，同时具有很高的计算性能。

在不同的参数下，Izhikevich神经元能够产生不同频率的电波，进而通过神经元的同步放电在可塑性网络中形成不同的放电节律，因此非常适合于大型网络的仿真。

Matlab代码

四个参数定天下

%Created by Eugene M. Izhikevich, February 25, 2003 
% Excitatory neurons Inhibitory neurons 
Ne=800; 
Ni=200; 
re=rand(Ne,1);
ri=rand(Ni,1); 
a=[0.02*ones(Ne,1); 0.02+0.08*ri]; 
b=[0.2*ones(Ne,1); 0.25-0.05*ri]; 
c=[-65+15*re.^2; -65*ones(Ni,1)]; 
d=[8-6*re.^2; 2*ones(Ni,1)]; 
S=[0.5*rand(Ne+Ni,Ne), -rand(Ne+Ni,Ni)]; 
v=-65*ones(Ne+Ni,1);   % Initial values of v 
u=b.*v;                % Initial values of u 
firings=[];            % spike timings 
for t=1:1000           % simulation of 1000 ms 
    I=[5*randn(Ne,1);2*randn(Ni,1)];  % thalamic input 
    fired=find(v>=30);                % indices of spikes 
    firings=[firings; t+0*fired,fired]; 
    v(fired)=c(fired); 
    u(fired)=u(fired)+d(fired); 
    I=I+sum(S(:,fired),2); 
    v=v+0.5*(0.04*v.^2+5*v+140-u+I);   % step 0.5 ms 
    v=v+0.5*(0.04*v.^2+5*v+140-u+I);   % for numerical 
    u=u+a.*(b.*v-u);                   % stability 
end
plot(firings(:,1),firings(:,2),'.');