时间复杂度与空间复杂度区分
时间复杂度与空间复杂度
1. 分析普通情况下的时间复杂度/空间复杂度
2. 分析二分查找、递归实现的斐波那契数列的时间/空间复杂度
1.时间复杂度：
时间复杂度即使算法执行次数n的某个函数f(n)，进而分析f(n)随n的变化情况并确定T(n)的数量级。这里用”O”来表示数量级
时间复杂度的表达式为: T(n)=O(f(n))
它表示随着问题规模的n的增大，算法的执行时间的增长率和f(n)的增长率相同，这称作算法的渐进时间复杂度，简称时间复杂度。而我们一般讨论的是最坏时间复杂度，这样做的原因是：最坏情况下的时间复杂度是算法在任何输入实例上运行时间的上界，分析最坏的情况以估算算法指向时间的一个上界。
时间复杂度的分析方法：
1)时间复杂度就是函数中基本操作所执行的次数
2)一般默认的是最坏时间复杂度，即分析最坏情况下所能执行的次数
3)忽略掉常数项
4)关注运行时间的增长趋势，关注函数式中增长最快的表达式，忽略系数
5)计算时间复杂度是估算随着n的增长函数执行次数的增长趋势
6)递归算法的时间复杂度为：递归总次数 * 每次递归中基本操作所执行的次数
2. 空间复杂度：
算法的空间复杂度不计算实际占用的空间，而是算整个算法的“辅助空间单元的个数”，与问题的规模没有关系。算法的空间复杂度S(n)定义为该算法所耗费空间的数量级。
S(n)=O(f(n)) 若算法执行时所需要的辅助空间相对于输入数据量n而言是一个常数，则称这个算法的辅助空间为O(1)
递归算法的空间复杂度：递归深度N*每次递归所要的辅助空间， 如果每次递归所需的辅助空间是常数，则递归的空间复杂度是 O(N)
3.二分查找的时间空间复杂度
首先了解二分查找，首先在长度为n的表范围中查找，第一次循环在n/2中查找，第二次在n/2/2中查找，依次循环。假设在第X次找到，那么 就是找2的X次方次，有2的X次方=n解出x为log2的n ，故时间复杂度为log2N。由于辅助空间是常数级别的所以：空间复杂度是O(1)
4.递归实现斐波那契数列的时间空间复杂的
首先了解什么是斐波那契数列，就是这样一组数 1 1 2 3 5 8 13…，前两个数为1后面的数依次为其前两个的和
递归实现的算法为
long long Fib(int n)
{
assert(n >= 0);
return n<2 ? n : Fib(n - 1) + Fib(n-2);
}
将递归执行图画出来可以明显的看出来，这是一颗二叉树，无论他是否是满二叉树，因为我们前面说过我们只计算最坏的情况，所以要计算这课二叉树有多少个元素，数的深度为n，那么元素为2^N-1；去掉常数项就是2的n次方
时间复杂度的分析：菲波那切数也可以看做一个数结构，1分为2, 2分为4, 4分为8，…而要去求第n个斐波那契数，就需要被分解成2^n-1个数字，也就是需要执行2^n-1次，用大O表示法记为O(2^n)。
递归的时间复杂度是： 递归次数*每次递归中执行基本操作的次数
所以时间复杂度是： O(2^N) （共执行多少次）
递归的空间复杂度是： 递归的深度*每次递归所需的辅助空间的个数
所以空间复杂度是：O(N) （ 递归一次要开辟一个空间）
**我们看一个例子
for (int i = 0; i < n; i++) {
for (int j = i; j < n; j++) {
// do …..
}
}**
当 i = 0 时 里面的fo循环执行了n次，当i等待1时里面的for循环执行了n - 1次，当i 等于2里里面的fro执行了n - 2次……..所以执行的次数是
根据我们上边的时间复杂度算法
1.去掉运行时间中的所有加法常数： 加法常数不用考虑
2.只保留最高阶项: 只保留 n^2/2
3. 去掉与这个最高阶相乘的常数: 去掉 1/2 只剩下 n^2
最终这个算法的时间复杂度为 o(n^2)
再看一个线性的
for ( int i = 0; i < n; i++) {
// do …..
}
因为循环要执行n次所以时间复杂度为O(n)