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复积分的计算

程序员文章站 2022-03-19 23:48:31
二元实函数的线积分原函数柯西积分公式高阶导数...

1. 二元实函数的线积分

一般方程

∫ c f ( z ) d z   = ∫ c u ( x , y ) d x − v ( x , y ) d y + i ∫ c v ( x , y ) d x + u ( x , y ) d y \int_c f(z)dz\, = \int_c u(x,y)dx-v(x,y)dy+i \int_c v(x,y)dx+u(x,y)dy cf(z)dz=cu(x,y)dxv(x,y)dy+icv(x,y)dx+u(x,y)dy
利用一次定理后,直接变为第二类曲线积分的计算,复平面变为曲线所在平面。

参数方程

难点在于表达出单变量的参数方程

2. 原函数

∫ a b f ( z ) d z   = G ( b ) − G ( a ) \int_a^b f(z)dz\, = G(b) - G(a) abf(z)dz=G(b)G(a)
常见使用情况:
有积分的上下限(起始点和终止点)

3. 柯西积分公式

设f(z)在简单闭曲线C所围成的 区域 D 内解析,在 D∪C内连续,z0D内任一点,则
f ( z 0 ) = 1 2 π i ∮ C f ( z ) z − z 0 d z f(z_0) = \tfrac{1}{2\pi i} \oint_{C} \tfrac {f(z)}{z - z_0} dz f(z0)=2πi1Czz0f(z)dz

4. 高阶导数

设函数f(z)在简单闭曲线C所围成的区域D内解析,而在D∪C上连续,则f(z)的各阶导函数均在D内解析,对D内任一点z,有

f ( n ) ( z ) = n ! 2 π i ∮ C f ( ζ ) ( ζ − z ) n + 1 d ζ f^{(n)}(z) = \tfrac{n!}{2\pi i}\oint_{C} \tfrac{f(\zeta)}{(\zeta - z)^{n+1}}d\zeta f(n)(z)=2πin!C(ζz)n+1f(ζ)dζ

5. 结论法

基础结论
∮ C d z ( z − z 0 ) n , C 为 以 z 0 为 圆 心 , 任 意 半 径 的 圆 。 \oint_{C} \tfrac{dz}{(z-z_0) ^n},C为以z0为圆心,任意半径的圆。 C(zz0)ndzCz0

  • 当n=1时,积分值为 2Πi
  • 当n≠1时,积分值为 0

语言描述:以奇点为圆心的圆,积分值与半径无关。

计算不一定一步步得数,也可用性质走捷径。

6. 留数法

把曲线积分转换成曲线包围的奇点的留数的和,再乘以2pii

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