复积分的计算
1. 二元实函数的线积分
一般方程
∫
c
f
(
z
)
d
z
=
∫
c
u
(
x
,
y
)
d
x
−
v
(
x
,
y
)
d
y
+
i
∫
c
v
(
x
,
y
)
d
x
+
u
(
x
,
y
)
d
y
\int_c f(z)dz\, = \int_c u(x,y)dx-v(x,y)dy+i \int_c v(x,y)dx+u(x,y)dy
∫cf(z)dz=∫cu(x,y)dx−v(x,y)dy+i∫cv(x,y)dx+u(x,y)dy
利用一次定理后，直接变为第二类曲线积分的计算，复平面变为曲线所在平面。
参数方程
难点在于表达出单变量的参数方程
2. 原函数
∫
a
b
f
(
z
)
d
z
=
G
(
b
)
−
G
(
a
)
\int_a^b f(z)dz\, = G(b) - G(a)
∫abf(z)dz=G(b)−G(a)
常见使用情况：
有积分的上下限（起始点和终止点）
3. 柯西积分公式
设f(z)在简单闭曲线C所围成的 区域 D 内解析，在 D∪C内连续，z0是D内任一点，则
f
(
z
0
)
=
1
2
π
i
∮
C
f
(
z
)
z
−
z
0
d
z
f(z_0) = \tfrac{1}{2\pi i} \oint_{C} \tfrac {f(z)}{z - z_0} dz
f(z0)=2πi1∮Cz−z0f(z)dz
4. 高阶导数
设函数f(z)在简单闭曲线C所围成的区域D内解析，而在D∪C上连续，则f(z)的各阶导函数均在D内解析，对D内任一点z，有
f ( n ) ( z ) = n ! 2 π i ∮ C f ( ζ ) ( ζ − z ) n + 1 d ζ f^{(n)}(z) = \tfrac{n!}{2\pi i}\oint_{C} \tfrac{f(\zeta)}{(\zeta - z)^{n+1}}d\zeta f(n)(z)=2πin!∮C(ζ−z)n+1f(ζ)dζ
5. 结论法
基础结论
∮
C
d
z
(
z
−
z
0
)
n
，
C
为
以
z
0
为
圆
心
，
任
意
半
径
的
圆
。
\oint_{C} \tfrac{dz}{(z-z_0) ^n}，C为以z0为圆心，任意半径的圆。
∮C(z−z0)ndz，C为以z0为圆心，任意半径的圆。
- 当n=1时，积分值为 2Πi
- 当n≠1时，积分值为 0
语言描述：以奇点为圆心的圆，积分值与半径无关。
计算不一定一步步得数，也可用性质走捷径。
6. 留数法
把曲线积分转换成曲线包围的奇点的留数的和，再乘以2pii
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