Dijkstra（最短路）

Dijkstra

时间复杂度对比

Dijkstra: O（N^2）；

Dijkstra + 优先队列优化 ： O （2 * E + V * longV）

SPFA: O（k * E）,k 为每个节点进入队列的次数，一般小于2，最坏 O（V * E）；

BellmanFord：O（V * E）, 可检测负权。

Floyd：O（n^3）,j计算每个节点到节点的最短路。

结论

1）单源最短路 ，没有权值为负的边 用Dijkstra（可用堆优化）;

2）求每个顶点到每个顶点的最短路，用Floyd

3）权值有负时，但是没有负圈，用SPFA，但是SPFA能检测负圈，但是不能输出负圈，

4）权值有负时，可能有负圈，用BellmanFord,能检测并输出负圈。

5）SPFA检测负环，当存在一个点入队大于V次时，有负环。

单源最短路（边不能为负）

伪代码

Dijkstra(G, d[], s){
	初始化
	for(循环n次){
		u = 使d[u]最小的还未别访问的顶点的标号;
		记 u 已经被访问；
		for(从u出发能到达的所有顶点){
			if(v未被访问 && 以u中介点使s到顶点v的最短距离d[v]更优){
				优化d[v]; 
			} 
		} 
	}  
}

1）邻接矩阵

const int MAXV = 1000;
const int INF = 0x3f3f3f3f;

int n, G[MAXV][MAXV];
int d[MAXV];
bool vis[MAXV] = {false};
void Dijkstra(int s){
	fill(d, d + MAXV, INF);
	d[s] = 0;
	for(int i = 0; i < n; i++){
		int u = -1, MIN = INF;
		for(int j = 0; j < n; j ++){
			if(vis[j] == false && d[j] < MIN){
				u = j;
				MIN = d[j];
			}
		}
		if(u == -1) return ;
		vis[u] = true;
		for(int v = 0; v < n; v++){
			if(vis[v] == false && G[u][v] != INF && d[u] + G[u][v] < d[v]){
				d[v] = d[u] + G[u][v];
			}
		}
	}
}

2）邻接表

struct Node{
	int v, dis;
};
vector<Node> Adj[MAXV];
int n;
int d[MAXV];
bool vis[MAXV] = {false};
void Dijkstra(int s){
	fill(d, d + MAXV, INF);
	d[s] = 0;
	for(int i = 0; i < n; i ++){
		int u = -1, MIN = INF;
		for(int j = 0; j < n; j++){
			if(vis[j] == false && d[j] < MIN){
				u = j;
				MIN = d[j];		
			} 
		}
		if(u == -1) return ;
		vis[u] = true;
		for(int j = 0; j < Adj[u].size(); j ++){
			int v = Adj[u][j].v;
			if(vis[v] == false && d[u] + Adj[u][j].dis < d[v]){
				d[v] = d[u] + Adj[u][j].dis;
			}
		}
	}
} 

3）优先队列优化

#include<iostream>
#include<bits/stdc++.h> 
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int, ll> pii;	//first 是 点， second 是距离 
const int N = 1e5 + 10;
const ll INF = (ll) 1e16;

vector<pii> V[N];
int n, m;
bool vis[N];
ll dis[N];

struct Node{
	int id;
	ll d;
	Node(){}
	Node(int id, ll d): id(id), d(d){}
	bool operator < (const Node &A)const{
		return d > A.d;
	}
};
void Dijkstra(int st){
	for(int i = 1; i <= n; i++){
		vis[i] = 0;
		dis[i] = INF;
	}
	dis[st] = 0;
	priority_queue<Node> Q;
	Q.push(Node(st, 0));	//先把第一个点入队 
	while(!Q.empty()){
		Node nd = Q.top(); Q.pop();	//每次都用优先队列队首（找到边最短的点）以这个点更新 
		if(vis[nd.id]) continue;	//如果已经用这个点更新过就跳过 
		vis[nd.id] = true;			//标记用这个点更新 
		for(int i = 0; i < V[nd.id].size(); i++){	//以这个点更新 
			int k = V[nd.id][i].first;		//与这个点相连的点 
			int len = V[nd.id][i].second;	//距离 
			if(nd.d + len < dis[k] && !vis[k]){	//距离变小，且没有以这个点更新过 
				dis[k] = nd.d + len;		//更新距离 
				Q.push(Node(k, dis[k]));	//入队 
			}
		}
	}
} 
int main (){
	int x, y, z, st, ed, cas = 0;
	scanf("%d", &cas);
	while(cas--){
		scanf("%d%d%d", &n, &m, &st);
		for(int i = 0; i <= n; i++)	V[i].clear();
		while(m --){
			scanf("%d%d%d", &x, &y, &z);
			V[x].push_back(make_pair(y, z));
			//V[y].push_back(make_pair(x, z)); 
		}
		Dijkstra(st);
		for(int i = 1; i <= n; i++)
			if(i == 1) printf("%d", dis[i]);
			else printf(" %d", dis[i]);
	}
	return 0;
}