省选模拟赛20191217 T2 复活石【狄利克雷卷积快速幂】

题目描述：

题目分析：

我的做法：
考虑最后的$i_k$ik​对$g(i)$g(i)的贡献，设$i=p_1^{a_1}p_2^{a_2}...$i=p1a1​​p2a2​​...，$i_k=p_1^{b_1}p_2^{b_2}...$ik​=p1b1​​p2b2​​...
中间的求和符号相当于在算指数由$a_i$ai​降为$b_i$bi​的方案数，总共降了$k$k次，比较经典的解方程类组合数，为$C_{a_i-b_i+k-1}^{k-1}$Cai​−bi​+k−1k−1​，由$i$i降到$i_k$ik​的方案就是每个质因子对应组合数的乘积。
枚举质因子的指数计算即可，复杂度$O(n*约数个数)$O(n∗约数个数)

题解：

狄利克雷卷积结合律的证明（摘自https://www.jianshu.com/p/09e55098fbd7）：

由这个过程其实可以看出上一种做法。
求两个多项式的卷积用FFT，而求狄利克雷卷积（如$f=g*h$f=g∗h）可以直接枚举其中一个$g(i)$g(i)，然后枚举倍数$j~(n=i*j)$j (n=i∗j)，就有$f(i\times j)+=g(i)*h(j)$f(i×j)+=g(i)∗h(j)，复杂度$O(n\ln n)$O(nlnn)

Code（mine）：

#include<bits/stdc++.h>
#define maxn 100005
using namespace std;
char cb[1<<18],*cs,*ct;
#define getc() (cs==ct&&(ct=(cs=cb)+fread(cb,1,1<<18,stdin),cs==ct)?0:*cs++)
inline void read(int &a){
	char c;while(!isdigit(c=getc()));
	for(a=c-'0';isdigit(c=getc());a=a*10+c-'0');
}
const int mod = 1e9+7;
int T,n,k,f[maxn],fac[maxn],inv[maxn];
vector<int>p[maxn],a[maxn];
void Cut(int x){
	int y=x;
	for(int i=2;i*i<=y;i++) if(y%i==0){
		p[x].push_back(i),a[x].push_back(0);
		while(y%i==0) a[x].back()++,y/=i;
	}
	if(y>1) p[x].push_back(y),a[x].push_back(1);
}
inline int C(int n,int m){return 1ll*fac[n]*inv[m]%mod*inv[n-m]%mod;}
int o,ans;
void dfs(int x,int i,int s){
	if(i==p[o].size()) {ans=(ans+1ll*s*f[x])%mod;return;}
	for(int t=0,up=a[o][i];t<=up;t++,x/=p[o][i])
		dfs(x,i+1,1ll*s*C(t+k-1,t)%mod);
}
int main()
{
	freopen("b.in","r",stdin);
	freopen("b.out","w",stdout);
	fac[0]=fac[1]=inv[0]=inv[1]=1;
	for(int i=2;i<=100000;i++) fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%mod,inv[i]=1ll*(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;
	for(int i=2;i<=100000;i++) inv[i]=1ll*inv[i-1]*inv[i]%mod;
	for(int i=1;i<=100000;i++) Cut(i);
	read(T);
	while(T--){
		read(n),read(k);
		for(int i=1;i<=n;i++) read(f[i]);
		for(int i=1;i<=n;i++) ans=0,o=i,dfs(i,0,1),printf("%d%c",ans," \n"[i==n]);
	}
}

Code（std）：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 100005
#define mod 1000000007
int T,n,k;
int f[N],g[N],tmp[N];
int main()
{
	freopen("b.in","r",stdin);
	freopen("b.out","w",stdout);
	for(cin>>T;T--;)
	{
		scanf("%d%d",&n,&k);
		for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&g[i]);
		for(int i=1;i<=n;i++) f[i]=1;
		while(k)
		{
			if(k&1) 
			{
				memset(tmp,0,sizeof(tmp));
				for(int i=1;i<=n;i++)
				for(int j=i;j<=n;j+=i)
					tmp[j]=(tmp[j]+1ll*g[j/i]*f[i]%mod)%mod;
				memcpy(g,tmp,sizeof(g));
			}
			k>>=1;
			memset(tmp,0,sizeof(tmp));
			for(int i=1;i<=n;i++)
			for(int j=i;j<=n;j+=i)
				tmp[j]=(tmp[j]+1ll*f[j/i]*f[i]%mod)%mod;
			memcpy(f,tmp,sizeof(f));
		}
		for(int i=1;i<n;i++) printf("%d ",g[i]);
		printf("%d\n",g[n]);
	}
}