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决策树算法推导&python应用

程序员文章站 2024-02-16 13:17:04
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决策树公式推导

(1)信息熵--用来度量样本集合纯度最常用的一种指标,定义如下:
Ent(D)=k=1Ypklog2pk(式1) \operatorname{Ent}(D)=-\sum_{k=1}^{\vert{\mathcal{Y}}\vert}p_k\log_2p_k\tag{式1}
其中,D={(x1,y1),(x2,y2),,(xm,ym)}D=\{(x_1,y_1),(x_2,y_2),\cdots,(x_m,y_m)\}表示样本集合,y|y|表示样本类别总数,PkP_k表示第kk类样本所占的比例,而且满足0Pk1k=1y=10\le{P_k}\le{1\cdot\sum_{k=1}^{|y|}=1}。上式值越小,则纯度越高。(样本尽可能属于同一类别,则“纯度”更高)

[证]:证明0Ent(D)log2Y0\leq\operatorname{Ent}(D)\leq\log_{2}|\mathcal{Y}|
已知集合DD的信息熵的定义为
Ent(D)=k=1Ypklog2pk(式2) \operatorname{Ent}(D)=-\sum_{k=1}^{|\mathcal{Y}|} p_{k} \log _{2} p_{k}\tag{式2}
其中,Y|\mathcal{Y}|表示样本类别总数,pkp_k表示第kk类样本所占的比例,且0pk1,k=1npk=10 \leq p_k \leq 1,\sum_{k=1}^{n}p_k=1。如若令Y=n,pk=xk|\mathcal{Y}|=n,p_k=x_k,那么信息熵Ent(D)\operatorname{Ent}(D)就可以看作一个nn元实值函数,也即
Ent(D)=f(x1,...,xn)=k=1nxklog2xk(式3) \operatorname{Ent}(D)=f(x_1,...,x_n)=-\sum_{k=1}^{n} x_{k} \log _{2} x_{k} \tag{式3}
其中,0xk1,k=1nxk=10 \leq x_k \leq 1,\sum_{k=1}^{n}x_k=1,下面考虑求该多元函数的最值。

最大值:

如果不考虑约束0xk10 \leq x_k \leq 1,仅考虑k=1nxk=1\sum_{k=1}^{n}x_k=1的话,对f(x1,...,xn)f(x_1,...,x_n)求最大值等价于如下最小化问题
mink=1nxklog2xk s.t. k=1nxk=1(式4) \begin{array}{ll}{ \operatorname{min}} & {\sum\limits_{k=1}^{n} x_{k} \log _{2} x_{k} } \\ {\text { s.t. }} & {\sum\limits_{k=1}^{n}x_k=1} \end{array}\tag{式4}
其中,y=xlogxy=x\log{x}函数图像如下:
决策树算法推导&python应用
这样一来,在0xk10 \leq x_k \leq 1时,此问题为凸优化问题,而对于凸优化问题来说,满足KKT条件的点即为最优解。由于此最小化问题仅含等式约束,那么能令其拉格朗日函数的一阶偏导数等于0的点即为满足KKT条件的点。根据拉格朗日乘子法可知,该优化问题的拉格朗日函数如下:
L(x1,...,xn,λ)=k=1nxklog2xk+λ(k=1nxk1)(式5) L(x_1,...,x_n,\lambda)=\sum_{k=1}^{n} x_{k} \log _{2} x_{k}+\lambda(\sum_{k=1}^{n}x_k-1)\tag{式5}
其中,λ\lambda为拉格朗日乘子。对L(x1,...,xn,λ)L(x_1,...,x_n,\lambda)分别关于x1,...,xn,λx_1,...,x_n,\lambda求一阶偏导数,并令偏导数等于0可得到下式:
L(x1,...,xn,λ)x1=x1[k=1nxklog2xk+λ(k=1nxk1)]=0=log2x1+x11x1ln2+λ=0=log2x1+1ln2+λ=0λ=log2x11ln2x2L(x1,...,xn,λ)x2=x2[k=1nxklog2xk+λ(k=1nxk1)]=0λ=log2x21ln2xnL(x1,...,xn,λ)xn=xn[k=1nxklog2xk+λ(k=1nxk1)]=0λ=log2xn1ln2λL(x1,...,xn,λ)λ=λ[k=1nxklog2xk+λ(k=1nxk1)]=0k=1nxk=1(式6) \begin{aligned} \cfrac{\partial L(x_1,...,x_n,\lambda)}{\partial x_1}&=\cfrac{\partial }{\partial x_1}\left[\sum_{k=1}^{n} x_{k} \log _{2} x_{k}+\lambda(\sum_{k=1}^{n}x_k-1)\right]=0\\ &=\log _{2} x_{1}+x_1\cdot \cfrac{1}{x_1\ln2}+\lambda=0 \\ &=\log _{2} x_{1}+\cfrac{1}{\ln2}+\lambda=0 \\ &\Rightarrow \lambda=-\log _{2} x_{1}-\cfrac{1}{\ln2}\\ 对x_2求偏导数有:\\ \cfrac{\partial L(x_1,...,x_n,\lambda)}{\partial x_2}&=\cfrac{\partial }{\partial x_2}\left[\sum_{k=1}^{n} x_{k} \log _{2} x_{k}+\lambda(\sum_{k=1}^{n}x_k-1)\right]=0\\ &\Rightarrow \lambda=-\log _{2} x_{2}-\cfrac{1}{\ln2}\\ \vdots\\ 对x_n求偏导数有:\\ \cfrac{\partial L(x_1,...,x_n,\lambda)}{\partial x_n}&=\cfrac{\partial }{\partial x_n}\left[\sum_{k=1}^{n} x_{k} \log _{2} x_{k}+\lambda(\sum_{k=1}^{n}x_k-1)\right]=0\\ &\Rightarrow \lambda=-\log _{2} x_{n}-\cfrac{1}{\ln2}\\ 对\lambda求偏导数有:\\ \cfrac{\partial L(x_1,...,x_n,\lambda)}{\partial \lambda}&=\cfrac{\partial }{\partial \lambda}\left[\sum_{k=1}^{n} x_{k} \log _{2} x_{k}+\lambda(\sum_{k=1}^{n}x_k-1)\right]=0\\ &\Rightarrow \sum_{k=1}^{n}x_k=1 实际上就等于约束条件。\\ \end{aligned}\tag{式6}
整理一下可得:
{λ=log2x11ln2=log2x21ln2=...=log2xn1ln2k=1nxk=1(式7) \left\{ \begin{array}{lr} \lambda=-\log _{2} x_{1}-\cfrac{1}{\ln2}=-\log _{2} x_{2}-\cfrac{1}{\ln2}=...=-\log _{2} x_{n}-\cfrac{1}{\ln2} \\ \sum\limits_{k=1}^{n}x_k=1 \end{array}\right.\tag{式7}

由以上两个方程可以解得:
x1=x2=...=xn=1n(式8) x_1=x_2=...=x_n=\cfrac{1}{n}\tag{式8}

又因为xkx_k还需满足约束0xk10 \leq x_k \leq 1,这样就得到01n10 \leq\cfrac{1}{n}\leq 1,所以x1=x2=...=xn=1nx_1=x_2=...=x_n=\cfrac{1}{n}是满足所有约束的最优解,也即为当前最小化问题的最小值点,同时也是f(x1,...,xn)f(x_1,...,x_n)的最大值点。将x1=x2=...=xn=1nx_1=x_2=...=x_n=\cfrac{1}{n}代入f(x1,...,xn)f(x_1,...,x_n)中可得:
f(1n,...,1n)=k=1n1nlog21n=n1nlog21n=log2n(式9) f(\cfrac{1}{n},...,\cfrac{1}{n})=-\sum_{k=1}^{n} \cfrac{1}{n} \log _{2} \cfrac{1}{n}=-n\cdot\cfrac{1}{n} \log _{2} \cfrac{1}{n}=\log _{2} n\tag{式9}
所以f(x1,...,xn)f(x_1,...,x_n)在满足约束0xk1,k=1nxk=10 \leq x_k \leq 1,\sum_{k=1}^{n}x_k=1时的最大值为log2n\log _{2} n

最小值:

如果不考虑约束k=1nxk=1\sum_{k=1}^{n}x_k=1,仅考虑0xk10 \leq x_k \leq 1f(x1,...,xn)f(x_1,...,x_n)可以看做是nn个互不相关的一元函数的加和,即:
f(x1,...,xn)=k=1ng(xk)(式10) f(x_1,...,x_n)=\sum_{k=1}^{n} g(x_k) \tag{式10}
其中,g(xk)=xklog2xk,0xk1g(x_k)=-x_{k} \log _{2} x_{k},0 \leq x_k \leq 1。那么当g(x1),g(x2),...,g(xn)g(x_1),g(x_2),...,g(x_n)分别取到其最小值时,f(x1,...,xn)f(x_1,...,x_n)也就取到了最小值。所以接下来考虑分别求g(x1),g(x2),...,g(xn)g(x_1),g(x_2),...,g(x_n)各自的最小值,由于g(x1),g(x2),...,g(xn)g(x_1),g(x_2),...,g(x_n)的定义域和函数表达式均相同,所以只需求出g(x1)g(x_1)的最小值也就求出了g(x2),...,g(xn)g(x_2),...,g(x_n)的最小值。下面考虑求g(x1)g(x_1)的最小值,首先对g(x1)g(x_1)关于x1x_1求一阶和二阶导数:
g(x1)=d(x1log2x1)dx1=log2x1x11x1ln2=log2x11ln2(式11) g^{\prime}(x_1)=\cfrac{d(-x_{1} \log _{2} x_{1})}{d x_1}=-\log _{2} x_{1}-x_1\cdot \cfrac{1}{x_1\ln2}=-\log _{2} x_{1}-\cfrac{1}{\ln2}\tag{式11}
g(x1)=d(g(x1))dx1=d(log2x11ln2)dx1=1x1ln2(式12) g^{\prime\prime}(x_1)=\cfrac{d\left(g^{\prime}(x_1)\right)}{d x_1}=\cfrac{d\left(-\log _{2} x_{1}-\cfrac{1}{\ln2}\right)}{d x_1}=-\cfrac{1}{x_{1}\ln2}\tag{式12}
发现,当0xk10 \leq x_k \leq 1g(x1)=1x1ln2g^{\prime\prime}(x_1)=-\cfrac{1}{x_{1}\ln2}恒小于0,所以g(x1)g(x_1)是一个在其定义域范围内开口向下的凹函数,那么其最小值必然在边界取,于是分别取x1=0x_1=0x1=1x_1=1,代入g(x1)g(x_1)可得:
g(0)=0log20=0(式13) g(0)=-0\log _{2} 0=0\tag{式13}
g(1)=1log21=0(式14) g(1)=-1\log _{2} 1=0\tag{式14}
所以,g(x1)g(x_1)的最小值为0,同理可得g(x2),...,g(xn)g(x_2),...,g(x_n)的最小值也为0,那么f(x1,...,xn)f(x_1,...,x_n)的最小值此时也为0。

但是,此时是不考虑约束k=1nxk=1\sum_{k=1}^{n}x_k=1,仅考虑0xk10 \leq x_k \leq 1时取到的最小值,若考虑约束k=1nxk=1\sum_{k=1}^{n}x_k=1的话,那么f(x1,...,xn)f(x_1,...,x_n)的最小值一定大于等于0。如果令某个xk=1x_k=1,那么根据约束k=1nxk=1\sum_{k=1}^{n}x_k=1可知x1=x2=...=xk1=xk+1=...=xn=0x_1=x_2=...=x_{k-1}=x_{k+1}=...=x_n=0,将其代入f(x1,...,xn)f(x_1,...,x_n)可得:
f(0,0,...,0,1,0,...,0)=0log200log20...0log201log210log20...0log20=0(式15) f(0,0,...,0,1,0,...,0)=-0 \log _{2}0-0 \log _{2}0...-0 \log _{2}0-1 \log _{2}1-0 \log _{2}0...-0 \log _{2}0=0 \\ \tag{式15}
所以xk=1,x1=x2=...=xk1=xk+1=...=xn=0x_k=1,x_1=x_2=...=x_{k-1}=x_{k+1}=...=x_n=0一定是f(x1,...,xn)f(x_1,...,x_n)在满足约束k=1nxk=1\sum_{k=1}^{n}x_k=10xk10 \leq x_k \leq 1的条件下的最小值点,其最小值为0。

综上可知,当f(x1,...,xn)f(x_1,...,x_n)取到最大值时:x1=x2=...=xn=1nx_1=x_2=...=x_n=\cfrac{1}{n},此时样本集合纯度最低;当f(x1,...,xn)f(x_1,...,x_n)取到最小值时:xk=1,x1=x2=...=xk1=xk+1=...=xn=0x_k=1,x_1=x_2=...=x_{k-1}=x_{k+1}=...=x_n=0,此时样本集合纯度最高。

(2)条件熵–在已知样本属性aa的取值情况下,度量样本集合纯度的一种指标:
H(Da)=v=1VDvDEnt(Dv)(式16) H(D|a)=\sum_{v=1}^{V}\cfrac{|D^v|}{|D|}\operatorname{Ent}(D^v)\tag{式16}
其中,aa表示样本的某个属性,假定属性aaVV个可能的取值{a1,a2,,aV}\{a^1,a^2,\cdots,a^V\},样本集合DD中在属性aa上取值为ava^v的样本记为DvD^v,Ent(Dv)\operatorname{Ent}(D^v)为样本集合DvD^v的信息熵。H(Da)H(D|a)越小,纯度越高。

1. ID3 决策树

ID3决策树----以信息增益为准则来选择划分属性的决策树。信息增益定义如下:
Gain(D,a)=Ent(D)v=1VDvDEnt(Dv)=Ent(D)H(Da)(式17) \begin{aligned} \operatorname{Gain}(D,a) &=\operatorname{Ent}(D)-\sum_{v=1}^{V}\cfrac{|D^v|}{|D|}\operatorname{Ent}(D^v)\\ &=\operatorname{Ent}(D)-H(D|a) \end{aligned}\tag{式17}
选择信息增益值最大的属性作为划分属性。因为信息增益越大,则意味着使用该属性来进行划分所获得的“纯度提升”越大。

将(式17)进一步展开写为如下形式:
Gain(D,a)=Ent(D)v=1VDvDEnt(Dv)=Ent(D)v=1VDvD(k=1Ypklog2pk)=Ent(D)v=1VDvD(k=1YDkvDvlog2DkvDv)(式18) \begin{aligned} \operatorname{Gain}(D,a) &=\operatorname{Ent}(D)-\sum_{v=1}^{V}\cfrac{|D^v|}{|D|}\operatorname{Ent}(D^v)\\ &=\operatorname{Ent}(D)-\sum_{v=1}^{V}\cfrac{|D^v|}{|D|}\left(-\sum_{k=1}^{\mathcal{|Y|}}p_k\log_2p_k\right)\\ &=\operatorname{Ent}(D)-\sum_{v=1}^{V}\cfrac{|D^v|}{|D|}\left(-\sum_{k=1}^{\mathcal{|Y|}}{\cfrac{|D_k^v|}{|D^v|}}\log_2{\cfrac{|D_k^v|}{|D^v|}}\right)\tag{式18} \end{aligned}
其中,DkvD_k^v为样本集合DD中在属性aa上取值为ava^v且类别为kk的样本。

\Longrightarrow以信息增益为划分准则的ID3决策树对可取值数目较多的属性有所偏好。

2. C4.5决策树

C4.5决策树----以信息增益率为准则来选择划分属性的决策树。信息增益率定义为:
Gain-ratio(D,a)=Gain(D,a)IV(a)IV(a)=v=1VDvDlog2DvD(19) \operatorname{Gain-ratio}(D,a)=\cfrac{\operatorname{Gain}(D,a)}{\operatorname{IV}(a)}\\ 其中,\operatorname{IV}(a)=-\sum_{v=1}^{V}{\cfrac{|D^v|}{|D|}}\log_2{\cfrac{|D^v|}{D}}\tag{19}

增益率准则,对可取值数目较少的属性有所偏好,因此C4.5算法并不是直接选择增益率最大的划分属性,而是使用了一个启发式;先从候选划分属性中找出信息增益高于平均水平的属性,再从中选择增益率最高的。

3. CART决策树

CART决策树----以基尼指数为准则来选择划分属性的决策树。基尼值定义为:
Gini(D)=k=1Ykkpkpk=k=1Ypkkkpk=k=1Ypk(1pk)=1k=1Ypk2(式20) \begin{aligned} \operatorname{Gini}(D)&=\sum_{k=1}^{|\mathcal{Y}|}\sum_{k^{\prime}\neq{k}}p_k^{\prime}p_k=\sum_{k=1}^{|\mathcal{Y}|}p_k\sum_{k^{\prime}\neq{k}}p_k^{\prime}\\ &=\sum_{k=1}^{|\mathcal{Y}|}p_k(1-p_k)=1-\sum_{k=1}^{|\mathcal{Y}|}p_{k}^2\tag{式20} \end{aligned}
基尼指数:
Gini-index(D,a)=v=1VDvDGini(Dv)(式21) \operatorname{Gini-index}(D,a)=\sum_{v=1}^{V}{\cfrac{|D^v|}{|D|}}\operatorname{Gini}(D^v)\tag{式21}
基尼值和基尼指数越小,样本集合纯度越高。

CART决策树分类算法:
1.根据基尼指数公式找出基尼指数最小的属性aa_*
2.计算属性aa_*的所有可能取值的基尼值Gini(Dv)\operatorname{Gini}(D^v),并选择基尼值最小的取值ava_*^v作为划分点。将集合DD划分为D1D_1D2D_2两个集合(节点),其中D1D_1集合的样本为a=ava_*=a_*^v的样本,D2D_2集合为aava_*\neq{a_*^v}的样本。
3.对集合D1,D2D_1,D_2重复步骤1和2,知道满足条件。

4. 决策树的构建

author by xiaoyao 这里我使用酒的数据集来演示一下决策树的构建。

# 导入libraries
import numpy as np
# 导入画图工具
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib.colors import ListedColormap
# 导入tree模型和数据集加载工具
from sklearn import tree, datasets
# 导入数据集拆分工具
from sklearn.model_selection import train_test_split
wine = datasets.load_wine()
# 这里只选取数据集的前两个特征
X = wine.data[:,:2]
y = wine.target
# 将数据集划分为训练集个测试集
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y)

# 忽略警告
import warnings
warnings.filterwarnings("ignore")
# 设定决策树分类器最大深度为1
clf = tree.DecisionTreeClassifier(max_depth=1)
# 拟合训练数据集
clf.fit(X_train, y_train)
DecisionTreeClassifier(class_weight=None, criterion='gini', max_depth=1,
                       max_features=None, max_leaf_nodes=None,
                       min_impurity_decrease=0.0, min_impurity_split=None,
                       min_samples_leaf=1, min_samples_split=2,
                       min_weight_fraction_leaf=0.0, presort=False,
                       random_state=None, splitter='best')
# 定义图像中分区的颜色和散点的颜色
cmap_light = ListedColormap(["#FFAAAA", "#AAFFAA", "#AAAAFF"])
cmap_bold = ListedColormap(["#FF0000", "#00FF00", "#0000FF"])

# 分别用样本的两个特征值创建图像和横轴、纵轴
x_min, x_max = X_train[:,0].min() - 1, X_train[:,0].max() + 1
y_min, y_max = X_train[:,1].min() - 1, X_train[:,1].max() + 1
xx, yy = np.meshgrid(np.arange(x_min, x_max, .02),np.arange(y_min, y_max, .02))
z = clf.predict(np.c_[xx.ravel(), yy.ravel()])
# 给每个分类中的样本分配不同的颜色
z = z.reshape(xx.shape)
plt.figure()
plt.pcolormesh(xx, yy, z, cmap=cmap_light)

# 使用散点图进行表示
plt.scatter(X[:,0], X[:,1], c=y, cmap=cmap_bold, edgecolor="k",s=20)
plt.xlim(xx.min(), xx.max())
plt.ylim(yy.min(), yy.max())
plt.title("Classifier:(max_depth = 1)")
plt.show()

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最大深度为1时,分类器的表现不很好,下面加大深度

# 设定决策树分类器最大深度为3
clf2 = tree.DecisionTreeClassifier(max_depth=3)
# 拟合训练数据集
clf2.fit(X_train, y_train)
DecisionTreeClassifier(class_weight=None, criterion='gini', max_depth=3,
                       max_features=None, max_leaf_nodes=None,
                       min_impurity_decrease=0.0, min_impurity_split=None,
                       min_samples_leaf=1, min_samples_split=2,
                       min_weight_fraction_leaf=0.0, presort=False,
                       random_state=None, splitter='best')
# 定义图像中分区的颜色和散点的颜色
cmap_light = ListedColormap(["#FFAAAA", "#AAFFAA", "#AAAAFF"])
cmap_bold = ListedColormap(["#FF0000", "#00FF00", "#0000FF"])

# 分别用样本的两个特征值创建图像和横轴、纵轴
x_min, x_max = X_train[:,0].min() - 1, X_train[:,0].max() + 1
y_min, y_max = X_train[:,1].min() - 1, X_train[:,1].max() + 1
xx, yy = np.meshgrid(np.arange(x_min, x_max, .02),np.arange(y_min, y_max, .02))
z = clf2.predict(np.c_[xx.ravel(), yy.ravel()])
# 给每个分类中的样本分配不同的颜色
z = z.reshape(xx.shape)
plt.figure()
plt.pcolormesh(xx, yy, z, cmap=cmap_light)

# 使用散点图进行表示
plt.scatter(X[:,0], X[:,1], c=y, cmap=cmap_bold, edgecolor="k",s=20)
plt.xlim(xx.min(), xx.max())
plt.ylim(yy.min(), yy.max())
plt.title("Classifier:(max_depth = 3)")
plt.show()

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此时,分类器就可以进行3个分类的识别,而且大部分的数据点都进入了正切的分类。接下来进一步调整深度。

# 设定决策树分类器最大深度为3
clf3 = tree.DecisionTreeClassifier(max_depth=5)
# 拟合训练数据集
clf3.fit(X_train, y_train)
DecisionTreeClassifier(class_weight=None, criterion='gini', max_depth=5,
                       max_features=None, max_leaf_nodes=None,
                       min_impurity_decrease=0.0, min_impurity_split=None,
                       min_samples_leaf=1, min_samples_split=2,
                       min_weight_fraction_leaf=0.0, presort=False,
                       random_state=None, splitter='best')
# 定义图像中分区的颜色和散点的颜色
cmap_light = ListedColormap(["#FFAAAA", "#AAFFAA", "#AAAAFF"])
cmap_bold = ListedColormap(["#FF0000", "#00FF00", "#0000FF"])

# 分别用样本的两个特征值创建图像和横轴、纵轴
x_min, x_max = X_train[:,0].min() - 1, X_train[:,0].max() + 1
y_min, y_max = X_train[:,1].min() - 1, X_train[:,1].max() + 1
xx, yy = np.meshgrid(np.arange(x_min, x_max, .02),np.arange(y_min, y_max, .02))
z = clf3.predict(np.c_[xx.ravel(), yy.ravel()])
# 给每个分类中的样本分配不同的颜色
z = z.reshape(xx.shape)
plt.figure()
plt.pcolormesh(xx, yy, z, cmap=cmap_light)

# 使用散点图进行表示
plt.scatter(X[:,0], X[:,1], c=y, cmap=cmap_bold, edgecolor="k",s=20)
plt.xlim(xx.min(), xx.max())
plt.ylim(yy.min(), yy.max())
plt.title("Classifier:(max_depth = 3)")
plt.show()

决策树算法推导&python应用

发现,性能进一步提升了。接下来我使用graphviz这个library来展示这个过程。

安装方式:pip install -i https://pypi.tuna.tsinghua.edu.cn/simple graphviz

%pwd
'D:\\python code\\8messy'
# 导入graphviz工具包
import graphviz
# 导入决策树中输出graphviz的接口
from sklearn.tree import export_graphviz
# 选择最大深度为3的分类模型
export_graphviz(clf2, out_file="./wine.dot", class_names=wine.target_names,
               feature_names = wine.feature_names[:2], impurity=False,filled=True)
# 打开一个dot文件
with open('./wine.dot') as f:
    dot_graph = f.read()
# 显示dot文件中的图形
graphviz.Source(dot_graph)

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