洛谷 P3620 [APIO/CTSC 2007]数据备份（wqs二分优化 dp）

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最优解肯定是选择了 k 对相邻的办公楼，考虑直接 dp：dp[i][j] 表示前 i 栋楼 选了 j 对的最小花费，转移方程：dp[i][j] = min(dp[i - 1][j],dp[i - 1][j - 1] + a[i] - a[j])

复杂度为 $O(n^2)$O(n2)。考虑优化：若不限制选几对， $i,dp[n][i]$i,dp[n][i] 在二维平面上肯定是一个下凸函数，二分一个权值 $slope$slope，使得每个点的答案要减去 $slope * i$slope∗i，即答案 = $dp[n][i] - slope * i$dp[n][i]−slope∗i，从线性规划的角度考虑，这相当于二分一个斜率 $slope$slope，要让这条直线在这个凸包上切某个点截距最小，由于凸包斜率具有单调性，因此可以二分 $slope$slope。

也可以更直接的理解：若没有限制，最小答案肯定是一条电缆也不用。为每对电缆扣去一个权值 $slope$slope，然后在不考虑限制的情况下进行 dp 求解，$slope$slope 越大，则最优解使用的电缆越多，否则最优解使用的电缆越少，具有单调性。

二分 $slope$slope，找到最优时，电缆数 = k的答案。有可能二分不到这个电缆数 = k 的情况，考虑转移时，每个状态取得最优的情况下尽可能的多使用电缆。二分时找到第一个满足 使用电缆数 $\geq k$≥k 的解。

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代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 1e5 + 10;
typedef long long ll;
const ll inf = 1e14;
int n,k,a[maxn];
ll dp[maxn],tp[maxn],sum;
ll solve(ll x) {
	tp[0] = dp[0] = 0;
	for (int i = 1; i <= n; i++) dp[i] = sum, tp[i] = 0;;
	dp[1] = 0;
	for (int i = 2; i <= n; i++) {
		dp[i] = dp[i - 1]; tp[i] = tp[i - 1];
		if (dp[i - 2] + a[i] - a[i - 1] + x < dp[i]) {
			dp[i] = dp[i - 2] + x + a[i] - a[i - 1];
			tp[i] = tp[i - 2] + 1;
		} else if (dp[i - 2] + x + a[i] - a[i - 1] == dp[i]) {
			if (tp[i - 2] + 1 > tp[i])
				tp[i] = tp[i - 2] + 1;
		}
	}
	return tp[n];
}
int main() {
	scanf("%d%d",&n,&k);
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		scanf("%d",&a[i]), sum += a[i];
	ll l = -sum, r = 0;
	while (l < r) {
		ll mid = l + r >> 1;
		if (solve(mid) < k) r = mid;
		else l = mid + 1;
	}
	solve(l - 1);
	printf("%lld\n",dp[n] - 1ll * k * (l - 1));
	return 0;
}