一文深刻理解决策树(系列三)

前面已经讲到，关于数据类型，我们主要可以把其分为两类，连续型数据和离散型数据。在面对不同数据时，决策树也可以分为两大类型：分类决策树和回归决策树。前者主要用于处理离散型数据，后者主要用于处理连续型数据。

1.原理概述

不管是回归决策树还是分类决策树，都会存在两个核心问题：

• 如何选择划分点？
• 如何决定叶节点的输出值？

一个回归树对应着输入空间（即特征空间）的一个划分以及在划分单元上的输出值。分类树中，我们采用信息论中的方法，通过计算选择最佳划分点。

而在回归树中，采用的是启发式的方法。**假如我们有n个特征，每个特征有$s_i(i∈(1,n))$si​(i∈(1,n))个取值，那我们遍历所有特征，尝试该特征所有取值，对空间进行划分，直到取到特征 j 的取值 s，使得损失函数最小，这样就得到了一个划分点。**描述该过程的公式如下：

假设将输入空间划分为M个单元：$R_1,R_2,...,R_m$R1​,R2​,...,Rm​ 那么每个区域的输出值就是：$c_m=avg(y_i|x_i∈R_m)$cm​=avg(yi​∣xi​∈Rm​)也就是该区域内所有点y值的平均数。

举例：

如下图，假如我们想要对楼内居民的年龄进行回归，将楼划分为3个区域$R_1,R_2,R_3$R1​,R2​,R3​（红线），那么$R_1$R1​的输出就是第一列四个居民年龄的平均值，$R_2$R2​的输出就是第二列四个居民年龄的平均值，$R_3$R3​的输出就是第三、四列八个居民年龄的平均值。

2.算法描述（小结）

• 输入：训练数据集D:
• 输出：回归树$f(x)$f(x).
• 在训练数据集所在的输入空间中，递归的将每个区域划分为两个子区域并决定每个子区域上的输出值，构建二叉决策树：
  • （1）选择最优切分特征$j$j与切分点$s$s，求解遍历特征$j$j,对固定的切分特征$j$j扫描切分点$s$s,选择使得上式达到最小值的对$(j,s)$(j,s).
  • （2）用选定的对$(j,s)$(j,s)划分区域并决定相应的输出值：
  • （3）继续对两个子区域调用步骤（1）和（2），直至满足停止条件。
  • （4）将输入空间划分为M个区域$R_1, R_2, ……, R_M$R1​,R2​,……,RM​, 生成决策树：

3.简单实例

为了易于理解，接下来通过一个简单实例加深对回归决策树的理解。

训练数据见下表，目标是得到一棵最小二乘回归树。

x	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
y	5.56	5.7	5.91	6.4	6.8	7.05	8.9	8.7	9	9.05

3.1 实例计算过程

确定第一个问题：选择最优切分变量j与最优切分点s

在本数据集中，只有一个特征，因此最优切分特征自然是x。

确定第二个问题：我们考虑9个切分点 $[1.5,2.5,3.5,4.5,5.5,6.5,7.5,8.5,9.5]$[1.5,2.5,3.5,4.5,5.5,6.5,7.5,8.5,9.5] 。

损失函数定义为平方损失函数$Loss(y,f(x))=(f(x)−y)^2$Loss(y,f(x))=(f(x)−y)2，将上述9个切分点依此代入下面的公式，其中 $c_m=avg(y_i|x_i∈R_m)$cm​=avg(yi​∣xi​∈Rm​)

例如，取 s=1.5。此时$R_1={1},R_2={2,3,4,5,6,7,8,9,10}$R1​=1,R2​=2,3,4,5,6,7,8,9,10，这两个区域的输出值分别为：
$c_1=5.56,c_2=19(5.7+5.91+6.4+6.8+7.05+8.9+8.7+9+9.05)=7.50$c1​=5.56,c2​=19(5.7+5.91+6.4+6.8+7.05+8.9+8.7+9+9.05)=7.50。

得到下表：

s	1.5	2.5	3.5	4.5	5.5	6.5	7.5	8.5	9.5
c1	5.56	5.63	5.72	5.89	6.07	6.24	6.62	6.88	7.11
c2	7.5	7.73	7.99	8.25	8.54	8.91	8.92	9.03	9.05

把$c1，c2$c1，c2的值代入到上式,如：$m(1.5)=0+15.72=15.72$m(1.5)=0+15.72=15.72。同理，可获得下表：

s	1.5	2.5	3.5	4.5	5.5	6.5	7.5	8.5	9.5
m(s)	15.72	12.07	8.36	5.78	3.91	1.93	8.01	11.73	15.74

显然取 s=6.5时，m(s)最小。因此，第一个划分变量j=x,s=6.5

1. 用选定的(j,s)划分区域，并决定输出值;两个区域分别是：$R1=\{1,2,3,4,5,6\},R2=\{7,8,9,10\}$R1={1,2,3,4,5,6},R2={7,8,9,10}输出值$c_m=avg(yi|xi∈Rm),c1=6.24,c2=8.91$cm​=avg(yi∣xi∈Rm),c1=6.24,c2=8.91
2. 对R1继续进行划分:

x	1	2	3	4	5	6
y	5.56	5.7	5.91	6.4	6.8	7.05

取切分点[1.5,2.5,3.5,4.5,5.5]，则各区域的输出值c如下表

s	1.5	2.5	3.5	4.5	5.5
c1	5.56	5.63	5.72	5.89	6.07
c2	6.37	6.54	6.75	6.93	7.05

计算m(s)：

s	1.5	2.5	3.5	4.5	5.5
m(s)	1.3087	0.754	0.2771	0.4368	1.0644

s=3.5时，m(s)最小。

3. 生成回归树

假设在生成3个区域之后停止划分，那么最终生成的回归树形式如下：

3.2 回归决策树和线性回归对比

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.tree import DecisionTreeRegressor
from sklearn import linear_model

# Data set
x = np.array(list(range(1, 11))).reshape(-1, 1)
y = np.array([5.56, 5.70, 5.91, 6.40, 6.80, 7.05, 8.90, 8.70, 9.00, 9.05]).ravel()

# Fit regression model
model1 = DecisionTreeRegressor(max_depth=1)
model2 = DecisionTreeRegressor(max_depth=3)
model3 = linear_model.LinearRegression()
model1.fit(x, y)
model2.fit(x, y)
model3.fit(x, y)

# Predict
X_test = np.arange(0.0, 10.0, 0.01)[:, np.newaxis]
y_1 = model1.predict(X_test)
y_2 = model2.predict(X_test)
y_3 = model3.predict(X_test)

# Plot the results
plt.figure()
plt.scatter(x, y, s=20, edgecolor="black",
            c="darkorange", label="data")
plt.plot(X_test, y_1, color="cornflowerblue",
         label="max_depth=1", linewidth=2)
plt.plot(X_test, y_2, color="yellowgreen", label="max_depth=3", linewidth=2)
plt.plot(X_test, y_3, color='red', label='liner regression', linewidth=2)
plt.xlabel("data")
plt.ylabel("target")
plt.title("Decision Tree Regression")
plt.legend()
plt.show()

结果展示