【坐在马桶上看算法】算法11：堆——神奇的优先队列（上）

这位朋友写的特别好，忍不住转发 :-)
http://ahalei.blog.51cto.com/4767671/1425314
所有的代码都是我自己写的，并没有沿用这篇文章原有的代码。

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堆是什么？是一种特殊的完全二叉树，就像下面这棵树一样。

有没有发现这棵二叉树有一个特点，就是所有父结点都比子结点要小（注意：圆圈里面的数是值，圆圈上面的数是这个结点的编号，此规定仅适用于本节）。符合这样特点的完全二叉树我们称为最小堆。反之，如果所有父结点都比子结点要大，这样的完全二叉树称为最大堆。那这一特性究竟有什么用呢？

假如有14个数分别是99、5、36、7、22、17、46、12、2、19、25、28、1和92。请找出这14个数中最小的数，请问怎么办呢？最简单的方法就是将这14个数从头到尾依次扫一遍，用一个循环就可以解决。这种方法的时间复杂度是O(14)也就是O(N)。

public void minNumber(){
    int[] a = {99,5,36,7,22,17,46,12,2,19,25,28,1,92};
    int min = a[0];
    for(int i=0; i<a.length; i++){
        if(a[i]<min) {
            min=a[i];
        }
    }
    System.out.println(min);
}

现在我们需要删除其中最小的数，并增加一个新数23，再次求这14个数中最小的一个数。请问该怎么办呢？只能重新扫描所有的数，才能找到新的最小的数，这个时间复杂度也是O(N)。假如现在有14次这样的操作（删除最小的数后并添加一个新数）。那么整个时间复杂度就是O(142)即O(N2)。那有没有更好的方法呢？

堆这个特殊的结构恰好能够很好地解决这个问题。

首先我们先把这个14个数按照最小堆的要求（就是所有父结点都比子结点要小）放入一棵完全二叉树，就像下面这棵树一样。

很显然最小的数就在堆顶，假设存储这个堆的数组叫做h的话，最小数就是h[1]。接下来，我们将堆顶的数删除，并将新增加的数23放到堆顶。显然加了新数后已经不符合最小堆的特性，我们需要将新增加的数调整到合适的位置。
那如何调整呢？

向下调整！我们需要将这个数与它的两个儿子2和5比较，并选择较小一个与它交换，交换之后如下。

我们发现此时还是不符合最小堆的特性，因此还需要继续向下调整。于是继续将23与它的两个儿子12和7比较，并选择较小一个交换，交换之后如下。

到此，还是不符合最小堆的特性，仍需要继续向下调整直到符合最小堆的特性为止。

我们发现现在已经符合最小堆的特性了。综上所述，当新增加一个数被放置到堆顶时，如果此时不符合最小堆的特性，则将需要将这个数向下调整，直到找到合适的位置为止，使其重新符合最小堆的特性。

向下调整的代码如下

public void siftdown(){
    int[] a = {1,2,5,12,7,17,25,19,36,99,22,28,46,92};
    a[0] = 23;
    System.out.println(Arrays.toString(a));
    int i = 0, t, newValue;
    while (i*2+1 < a.length){
        newValue = a[i];
        if(a[i*2+1] > a[i*2+2]){
           t = i*2+2;
        }else{
            t = i*2+1;
        }
        a[i] = a[t];
        a[t] = newValue;
        i = t;
        System.out.println("在循环里");
    }
    System.out.println(Arrays.toString(a));
}

输出结果：

[23, 2, 5, 12, 7, 17, 25, 19, 36, 99, 22, 28, 46, 92]
在循环里
在循环里
在循环里
[2, 7, 5, 12, 22, 17, 25, 19, 36, 99, 23, 28, 46, 92]

我们刚才在对23进行调整的时候，竟然只进行了3次比较，就重新恢复了最小堆的特性。现在最小的数依然在堆顶为2。之前那种从头到尾扫描的方法需要14次比较，现在只需要3次就够了。现在每次删除最小的数并新增一个数，并求当前最小数的时间复杂度是O(3)，这恰好是O(log14)即O(logN)。

假如现在有1亿个数（即N=1亿），进行1亿次删除最小数并新增一个数的操作，使用原来扫描的方法计算机需要运行大约1亿的平方次，而现在只需要log1亿次，即27亿次。假设计算机每秒钟可以运行10亿次，那原来则需要一千万秒大约115天！而现在只要2.7秒（2的27次方大概是1亿）。
是不是很神奇，再次感受到算法的伟大了吧。

说到这里，如果只是想新增一个值，而不是删除最小值又该如何操作呢？即如何在原有的堆上直接插入一个新元素呢？只需要直接将新元素插入到末尾，再根据情况判断新元素是否需要上移，直到满足堆的特性为止。如果堆的大小为N（即有N个元素），那么插入一个新元素所需要的时间也是O(logN)。例如我们现在要新增一个数3。

先将3与它的父结点25比较，发现比父结点小，为了维护最小堆的特性，需要与父结点的值进行交换。交换之后发现还是要比它此时的父结点5小，因此需要再次与父结点交换。至此又重新满足了最小堆的特性。向上调整完毕后如下。

向上调整的代码如下

public void siftup(){
    int[] a = {2,7,5,12,22,17,25,19,36,99,23,28,46,92,3};
    int newValue, i = a.length - 1;
    System.out.println(Arrays.toString(a));
    while(i>0){
        newValue = a[i];
        if(a[i] < a[i/2-1]){
            a[i] = a[i/2-1];
            a[i/2-1] = newValue;
            i = i/2-1;
        }else{
            break;
        }
        System.out.println("在循环里");
    }
    System.out.println(Arrays.toString(a));
}

输入结果：

[2, 7, 5, 12, 22, 17, 25, 19, 36, 99, 23, 28, 46, 92, 3]
在循环里
在循环里
[2, 7, 3, 12, 22, 17, 5, 19, 36, 99, 23, 28, 46, 92, 25]

说了半天，我们忽略一个很重要的问题！就是如何建立这个堆，下节接着说。

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