基本性质
优先级队列，也叫二叉堆、堆（不要和内存中的堆区搞混了，不是一个东西，一个是内存区域，一个是数据结构）。
堆的本质上是一种完全二叉树，分为：
最小堆（小根堆）：树中每个非叶子结点都不大于其左右孩子结点的值，也就是根节点最小的堆，图（a）。
最大堆（大根堆）：树中每个非叶子结点都不小于其左右孩子结点的值，也就是根节点最大的堆，图（b）。
基本操作
均以大根堆为例
存储方式
堆本质上是一颗完全二叉树，使用数组进行存储，从\(a[1]\)开始存储，这样对于下标为\(k\)的结点\(a[k]\)来说，其左孩子的下标为\(2*k\)，右孩子的下标为\(2*k+1\)。，且不论 \(k\) 是奇数还是偶数，其父亲结点（如果有的话）就是 $\left \lfloor k/2 \right \rfloor $。
向上调整
假如我们向一个堆中插入一个元素，要使其仍然保持堆的结构。应该怎么办呢？
可以把想要添加的元素放在数组的最后，也就是完全二叉树的最后一个结点的后面，然后进行向上调整（heapinsert）。向上调整总是把欲调整结点与父亲结点比较，如果权值比父亲结点大，那么就交换其与父亲结点，反复比较，直到到达堆顶或父亲结点的值较大为止。向上调整示意图如下：
代码如下，时间复杂度为\(O(logn)\)：
void heapinsert(int* arr, int n) {
int k = n;
//如果 K 结点有父节点，且比父节点的权值大
while (k > 1 && arr[k] > arr[k / 2]) {
//交换 K 与父节点的值
swap(arr[k / 2], arr[k]);
k >>= 1;
}
}这样添加元素就很简单了
void insert(int* arr, int n, int x) {
arr[++n] = x;//将x置于数组末尾
heapinsert(arr, n);//向上调整x
}向下调整
假如我们要删除一个堆中的堆顶元素，要使其仍然保持堆的结构。应该怎么办呢？
移除堆顶元素后，将最后一个元素移动到堆顶，然后对这个元素进行向下调整（heapify），向下调整总是把欲调整结点 \(K\) 与其左右孩子结点比较，如果孩子中存在权值比当前结点 \(K\) 大的，那么就将其中权值最大的那个孩子结点与结点 \(K\)，反复比较，直到到结点 \(K\) 为叶子结点或结点 \(K\) 的值比孩子结点都大为止。向下调整示意图如下：
代码如下，时间复杂度也是\(O(logn)\)：
void heapify(int* arr, int k, int n) {
//如果结点 K 存在左孩子
while (k * 2 <= n) {
int left = k * 2;
//如果存在右孩子，并且右孩子的权值大于左孩子
if (left + 1 <= n && arr[left] < arr[left + 1])
left++; //就选中右孩子
//如果节点 K 的权值已经大于左右孩子中较大的节点
if (arr[k] > arr[left])
break;
swap(arr[left], arr[k]);
k = left;
}
}这样删除堆顶元素也就变得很简单了
void deleteTop(int* arr, int n) {
arr[1] = arr[n--];//用最后一个元素覆盖第一个元素，并让n-1
heapify(arr, 1, n);
}建堆
自顶向下建堆
自顶向下建堆的思想是，从第 \(i=1\) 个元素开始，对其进行向上调整，始终使前 \(i\) 个元素保持堆的结构。时间复杂度 \(O(nlogn)\)
void ArrayToHeap(int *a,int n) {
for (int i = 1; i <= n; i++) {
heapinsert(a, i);
}
}自底向上建堆
自底向上建堆的思想是，从底 $i=\left \lfloor n/2 \right \rfloor $ 个元素开始，对其进行向下调整，始终让后 \(n-i\) 个元素保持堆的结构。
void ArrayToBheap(int *a, int n) {
int i = n / 2;
for (; i >= 1; i--) {
heapify(a, i, n);
}
} 如果仅从代码上直观观察，会得出构造二叉堆的时间复杂度为\(O(nlogn)\)的结果。当然这个上界是正确的，但却不是渐近界，可以观察到，不同结点在运行 heapify 的时间与该结点的树高（树高是指该结点到最底层叶子结点的值，不要和深度搞混了）相关，而且大部分结点的高度都很小。利用以下性质可以得到一个更准确的渐近界：
- 一个高度为 \(h\) 含有 \(n\) 个元素的堆，有 \(h=\lfloor logn\rfloor\) ，最多包含 \(\lceil \frac{n}{2^{k+1}} \rceil\) 高度为 \(k\) 的结点
【可以画颗树试一下，具体证明请看算法导论】
在一个高度为 \(h\) 的结点上运行 heapify 的代价为 \(O(h)\)，我们可以将自顶向下建堆的总复杂度表示为
\[
\sum ^{h}_{k=0} \lceil \frac {n}{2^{k+1}} \rceil O(h)= O(n\sum ^{h} _{k=0}\frac {k}{2^{k}})
\]
这个式子
\[
\sum ^{h} _{k=0}\frac {k}{2^{k}}
\]
其实就是求前 \(n\) 项和，高中数学的知识
\[
T(k)=\frac{1}{2}+\frac{2}{2^2}+\frac{3}{2^3}+\cdots+\frac{k}{2^k}\\\frac{1}{2}T(k)=\frac{1}{2^2}+\frac{2}{2^3}+\frac{3}{2^4}+\cdots+\frac{k-1}{2^k}+\frac{k}{2^k+1}\\T(k)-\frac{1}{2}T(k)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\cdots+\frac{1}{2^k}-\frac{k}{2^{k+1}}\\\frac{1}{2}T(k)=\frac{\frac{1}{2}(1-(\frac{1}{2})^k)}{1-\frac{1}{2}}-\frac{k}{2^{k+1}}\\T(k)=2-\frac{1}{2^{k-1}}-\frac{k}{2^{k}}
\]
到这儿就需要求极限，高等数学的知识 \(\frac{1}{2^{k-1}}\) 当 \(k\) 趋于无穷大时极限是 \(0\)，对 \(\frac{k}{2^{k}}\) 用洛必达法则极限也是 \(0\)
也就是说当 \(h\) 趋向于无穷大时，\(O(n\sum ^{h} _{k=0}\frac {k}{2^{k}})=O(n\cdot 2)\) ，去掉常数项，所以自底向上建堆复杂度为 \(O(n)\)
堆排序
堆排序的思想：假设一个大根堆有 \(n\) 个元素，每次把第 \(1\) 个元素，与第 \(n\) 个元素交换，对第一个元素进行向下调整（heapify），并使得 \(n=n-1\) ，直到 \(n=1\)
void heapSort(int* arr, int n) {
//先自底向上建堆
int i = n / 2;
for (; i >= 1; i--) {
heapify(arr, i, n);
}
for (int i = 50; i > 1; i--) {
swap(arr[1], arr[i]);
heapify(arr, 1, i - 1);
}
}例题
寻找第K大元素
首先用数组的前k个元素构建一个小根堆，然后遍历剩余数组和堆顶比较，如果当前元素大于堆顶，则把当前元素放在堆顶位置，并调整堆（heapify）。遍历结束后，堆顶就是数组的最大k个元素中的最小值，也就是第k大元素。
void heapify(int* a, int index, int length) {
int left = index * 2 + 1;
while (left <= length) {
if (left + 1 <= length - 1 && a[left + 1] > a[left])left++;
if (a[index] > a[left])break;
swap(a[index], a[left]);
index = left;
}
}
void ArrayToBheap(int* a, int length) {
int i = length / 2 - 1;
for (; i >= 0; i--) {
heapify(a, i, length);
}
}
void FindKMax(int* a, int k, int length) {
ArrayToBheap(a, k);
for (int i = k; i < length; i++) {
if (a[i] > a[0]) a[0] = a[i];
heapify(a, 0, k);
}
}时间复杂度\(O(n)\)，只是举个例子。
事实上对于这个问题是有更快的做法的，快速排序的思想，时间复杂度 \(O(logn)\)
int Search_K(int left, int right, int k) {
int i = left, j = right;
int p = rand() % (right - left + 1) + left;
int sign = a[p];
swap(a[p], a[i]);
while (i < j) {
while (i < j && a[j] >= sign)j--;
while (i < j && a[i] <= sign)i++;
swap(a[i], a[j]);
}
swap(a[i], a[left]);
if (i - left + 1 == k)return a[i];
if (i - left + 1 < k)return Search_K(i + 1, right, k - (i - left + 1));
else return Search_K(left, i - 1, k);
}堆更多时候，因为它建堆\(O(n)\)，调整\(O(logn)\)，当需要有序得到某些数据，是要优于排序（\(O(nlogn)\)）算法的，而且如果数据规模是动态增加的，那堆就要完全优于排序算法了，在C++的STL是有堆的实现的，叫做 priority_queue 。