训练神经网络适合使用交叉熵错误率，而不是分类错误率或是均方差

一. 二次代价函数的不足

对于大多数人来说，犯错是一件让人很不开心的事情。但反过来想，犯错可以让我们意识到自己的不足，然后我们很快就学会下次不能再犯错了。犯的错越多，我们学习进步就越快。

同样的，在神经网络训练当中，当神经网络的输出与标签不一样时，也就是神经网络预测错了，这时我们希望神经网络可以很快地从错误当中学习，然后避免再预测错了。那么现实中，神经网络真的会很快地纠正错误吗？

我们来看一个简单的例子：

上图是一个只有一个神经元的模型。我们希望输入1的时候，模型会输出0(也就是说，我们只有一个样本(x=1, y=0))。假设我们随机初始化权重参数w=2.0，偏置参数b=2.0。**函数为sigmoid函数。所以模型的第一次输出为：

output=σ(w⋅x+b)=σ(2.0×1+2.0)=0.98

以一个神经元的二类分类训练为例，进行两次实验（ANN常用的**函数为sigmoid函数，该实验也采用该函数）：输入一个相同的样本数据x=1.0（该样本对应的实际分类y=0）；两次实验各自随机初始化参数，从而在各自的第一次前向传播后得到不同的输出值，形成不同的代价（误差）：

实验1：第一次输出值为0.82

     

实验2：第一次输出值为0.98

        

        在实验1中，随机初始化参数，使得第一次输出值为0.82（该样本对应的实际值为0）；经过300次迭代训练后，输出值由0.82降到0.09，逼近实际值。而在实验2中，第一次输出值为0.98，同样经过300迭代训练，输出值只降到了0.20。

        从两次实验的代价曲线中可以看出：实验1的代价随着训练次数增加而快速降低，但实验2的代价在一开始下降得非常缓慢；直观上看，初始的误差越大，收敛得越缓慢。

        其实，误差大导致训练缓慢的原因在于使用了二次代价函数。二次代价函数的公式如下：

        其中，C表示代价，x表示样本，y表示实际值，a表示输出值，n表示样本的总数。为简单起见，同样一个样本为例进行说明，此时二次代价函数为：

        目前训练ANN最有效的算法是反向传播算法。简而言之，训练ANN就是通过反向传播代价，以减少代价为导向，调整参数。参数主要有：神经元之间的连接权重w，以及每个神经元本身的偏置b。调参的方式是采用梯度下降算法（Gradient descent），沿着梯度方向调整参数大小。w和b的梯度推导如下：

        其中，z表示神经元的输入，表示**函数。从以上公式可以看出，w和b的梯度跟**函数的梯度成正比，**函数的梯度越大，w和b的大小调整得越快，训练收敛得就越快。而神经网络常用的**函数为sigmoid函数，该函数的曲线如下所示：

        如图所示，实验2的初始输出值（0.98）对应的梯度明显小于实验1的输出值（0.82），因此实验2的参数梯度下降得比实验1慢。这就是初始的代价（误差）越大，导致训练越慢的原因。与我们的期望不符，即：不能像人一样，错误越大，改正的幅度越大，从而学习得越快。

        可能有人会说，那就选择一个梯度不变化或变化不明显的**函数不就解决问题了吗？图样图森破，那样虽然简单粗暴地解决了这个问题，但可能会引起其他更多更麻烦的问题。而且，类似sigmoid这样的函数（比如tanh函数）有很多优点，非常适合用来做**函数，具体请自行google之。

二. 交叉熵代价函数

 换个思路，我们不换**函数，而是换掉二次代价函数，改用交叉熵代价函数：

        其中，x表示样本，n表示样本的总数。那么，重新计算参数w的梯度：

        其中（具体证明见附录）：

        因此，w的梯度公式中原来的被消掉了；另外，该梯度公式中的表示输出值与实际值之间的误差。所以，当误差越大，梯度就越大，参数w调整得越快，训练速度也就越快。同理可得，b的梯度为：

        实际情况证明，交叉熵代价函数带来的训练效果往往比二次代价函数要好。

在使用神经网络做分类和预测的工作的时候，使用交叉熵模型来评估分类性能，往往要比分类错误率或是均方差模型更好。

实例

下面举个预测一个人属于哪个党派的例子。（来描述这个从的特征有很多，像年龄、性别、收入等。这里不讨论。）

将这个人的特征数据输入我们的分类模型，得到一组向量，来表示他/她属于哪个党派的概率。

模型一

预测结果	目标	正确吗？
0.3 0.3 0.4	0 0 1 (democrat)	yes
0.3 0.4 0.3	0 1 0 (republican)	yes
0.1 0.2 0.7	1 0 0 (other)	no

稍微解释一下，第一行0.3 0.3 0.4 | 0 0 1 (democrat) | yes的意思是：预测是other的概率是0.3；预测为republican的概率是0.3；预测是democrat的概率是0.4；而目标是democrat。
此时，
分类错误率：1/3 = 0.33
错误率

模型二

我们再看一个模型的分类结果。

预测结果	目标	正确吗？
0.1 0.2 0.7	0 0 1 (democrat)	yes
0.1 0.7 0.2	0 1 0 (republican)	yes
0.3 0.4 0.3	1 0 0 (other)	no

分类错误率：1/3 = 0.33

但是，我们可以观察到，前两项的分类结果有明显不同，所以直观上讲，第二个模型要比第一个模型更可靠。

交叉熵错误率模型的效果

仍然通过上面两个例子，我们看一下交叉熵的表现如何。（有关「熵」的计算，可以参考《统计学习方法》的5.2.2节）

1. 模型一
   计算第一行的熵，二、三行同理。

   -( (ln(0.3)*0) + (ln(0.3)*0) + (ln(0.4)*1) ) = -ln(0.4)

   然后得到平均交叉熵错误率（average cross-entropy error, ACE）

       -(ln(0.4) + ln(0.4) + ln(0.1)) / 3 = 1.38

   第一行的均方差

       (0.3 - 0)^2 + (0.3 - 0)^2 + (0.4 - 1)^2 = 0.09 + 0.09 + 0.36 = 0.54

   然后得到
   
(0.54 + 0.54 + 1.34) / 3 = 0.81


2. 模型二
   ACE:     -(ln(0.7) + ln(0.7) + ln(0.3)) / 3 = 0.64
   均方差：(0.14 + 0.14 + 0.74) / 3 = 0.34

对比

项目	模型一	模型二
ACE	1.38	0.64
分类错误率	0.33	0.33
均方差	0.81	0.34

这样看起来ACE和均方差明显优于分类错误率，同时ACE和均方差相比差别不大。但是，考虑到均方差计算量要稍大于ACE。

总结

所以在应用上面三种方式评估结果的时候，要看你想做什么。
比如，你只想看在特定样本集上的结果的准确性，那就用分类错误率来评估。因为，此时你不需要知道得到每个结果的概率，这些对最终结果没有任何辅助说明意义。

但是，在训练分类模型，和长期评估的时候，ACE和均方差就会更远好一些。

交叉熵代价函数是如何产生的？

        以偏置b的梯度计算为例，推导出交叉熵代价函数：

        在第1小节中，由二次代价函数推导出来的b的梯度公式为：

        为了消掉该公式中的，我们想找到一个代价函数使得：

        即：

        对两侧求积分，可得：

        而这就是前面介绍的交叉熵代价函数。

附录：

        sigmoid函数为：

        可证：

参考：

Why You Should Use Cross-Entropy Error Instead Of Classification Error Or Mean Squared Error For Neural Network Classifier Training

交叉熵代价函数（作用及公式推导）