jzoj 5836. Sequence（dp+矩阵乘法）

题目大意：

思路：

这题考场只有23分，感觉今天有点虚，本来随便打打35分的，结果自己搜索都打得乱七八糟，脑子里全是ac自动机….
先不管m，我们可以设f[i]表示在第i个位置取得本质不同的字符刷的数量，转移就是f[i]=∑i−1j=last[a[i]]f[j]$\sum _{j=last[a[i]]}^{i-1}f[j]$。这东西显然可以用前缀和维护一下。然后我们再考虑m的情况，观察dp可得，只要是放的数离上一次出现越远，那么答案会越大，所以我们可以把last排序，求出前k个要怎么放，后面的转移就是一定的，每次f等于前面k个数的和，但是我们要求的是最后的sum，在搞一搞，发现sum[i]=sum[i-1]*2-sum[i-k-1],很不错那就可以用矩阵快速幂转移了，时间复杂度o（k^3*log(m)）;

程序：

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define N 10000005
#define mo 1000000007
#define LL long long
LL n,m,k,ans;
LL sum[N],f[N],c[105],a[N],last[N],c1[105];
struct data{LL a[105][105];}d1,d,d2;

bool cmp(LL a,LL b){return a<b;}

data cheng(data a,data b){
    for (LL i=0;i<=k;i++)
     for (LL j=0;j<=k;j++)
     {
        d2.a[i][j]=0;
        for (LL kk=0;kk<=k;kk++)
        d2.a[i][j]=(d2.a[i][j]+a.a[i][kk]*b.a[kk][j]%mo+mo)%mo;
     }
    return d2;  
}

void mul(LL x){
    if (x<1) return;
    for (int i=0;i<=k;i++)
     for (int j=0;j<=k;j++) if (i==j) d1.a[i][j]=1;
    while (x){
        if (x%2==1) d1=cheng(d1,d);
        d=cheng(d,d);
        x=x/2;
    }
}

int main(){
    freopen("sequence.in","r",stdin);
    freopen("sequence.out","w",stdout);
    scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&k);
    f[0]=1;
    for (LL i=1;i<=n;i++){
        scanf("%lld",&a[i]);
        f[i]=(sum[i-1]-sum[last[a[i]]]+f[last[a[i]]]+mo)%mo;
        sum[i]=(sum[i-1]+f[i])%mo;
        last[a[i]]=i;
    }
    std::sort(last+1,last+k+1,cmp);
    for (LL i=1;i<=k;i++){
        f[n+i]=(sum[n+i-1]-sum[last[i]]+f[last[i]]+mo)%mo;
        sum[n+i]=(sum[n+i-1]+f[n+i])%mo;
    }
    for (LL i=0;i<=k;i++) c[i]=sum[n+k-i];
    for (LL i=0;i<=k;i++)
     for (LL j=0;j<=k;j++){
        if (i==j-1) d.a[i][j]=1;
        else if (i==0&&j==0) d.a[i][j]=2;
        else if (i==k&&j==0) d.a[i][j]=-1;
     }
    mul(m-k);
    for (LL i=0;i<=k;i++)
      for (LL j=0;j<=k;j++)
       c1[j]=(c1[j]+c[i]*d1.a[i][j]%mo+mo)%mo;
    if (m>k) ans=(c1[0])%mo;
        else ans=(sum[n+m])%mo;
    printf("%lld",ans);
}