BFS（五）：八数码难题 （POJ 1077）
eight
description
the 15-puzzle has been around for over 100 years; even if you don't know it by that name, you've seen it. it is constructed with 15 sliding tiles, each with a number from 1 to 15 on it, and all packed into a 4 by 4 frame with one tile missing. let's call the missing tile 'x'; the object of the puzzle is to arrange the tiles so that they are ordered as:
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
13 14 15 x
where the only legal operation is to exchange 'x' with one of the tiles with which it shares an edge. as an example, the following sequence of moves solves a slightly scrambled puzzle:
1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4
5 6 7 8 5 6 7 8 5 6 7 8 5 6 7 8
9 x 10 12 9 10 x 12 9 10 11 12 9 10 11 12
13 14 11 15 13 14 11 15 13 14 x 15 13 14 15 x
r-> d-> r->
the letters in the previous row indicate which neighbor of the 'x' tile is swapped with the 'x' tile at each step; legal values are 'r','l','u' and 'd', for right, left, up, and down, respectively.
not all puzzles can be solved; in 1870, a man named sam loyd was famous for distributing an unsolvable version of the puzzle, and
frustrating many people. in fact, all you have to do to make a regular puzzle into an unsolvable one is to swap two tiles (not counting the missing 'x' tile, of course).
in this problem, you will write a program for solving the less well-known 8-puzzle, composed of tiles on a three by three
arrangement.
input
you will receive a description of a configuration of the 8 puzzle. the description is just a list of the tiles in their initial positions, with the rows listed from top to bottom, and the tiles listed from left to right within a row, where the tiles are represented by numbers 1 to 8, plus 'x'. for example, this puzzle
1 2 3
x 4 6
7 5 8
is described by this list:
1 2 3 x 4 6 7 5 8
output
you will print to standard output either the word ``unsolvable'', if the puzzle has no solution, or a string consisting entirely of the letters 'r', 'l', 'u' and 'd' that describes a series of moves that produce a solution. the string should include no spaces and start at the beginning of the line.
sample input
2 3 4 1 5 x 7 6 8
sample output
ullddrurdllurdruldr
（1）编程思路1。
1）定义结点
用数组来表示棋盘的布局，如果将棋盘上的格子从左上角到右下角按0到8编号，就可用一维数组board[9]来顺序表示棋盘上棋子的数字，空格用“9”表示，数组元素的下标是格子编号。为方便处理，状态结点还包括该布局的空格位置space，否则需要查找“9”在数组中的位置才能确定空格的位置。另外，为节约存储空间，将数组类型定义为char（每个元素只占一个字节存储空间，还是可以存储整数1~9）。因此在程序中，定义状态结点为结构数据类型：
struct node{
char board[9];
char space; // 空格所在位置
};
2）状态空间
由于棋盘有9个格子，每种布局可以看成是数字1~9的一个排列，因此全部的布局数应为9！（362880）种。为了便于判断两种布局是否为同一种布局，可以编写一个函数int hash(const char *s)把数字1~9的排列映射为一个整数num（0<=num<=(9!-1)）。例如，排列“123456789”映射为0、“213456789”映射为1、“132456789”映射为2、“231456789”映射为3、…、“987654312”映射为362878、“987654321”映射为362879。
这样，每种状态就可以对应一个整数。反过来说，0~ (9!-1)之间的任一整数，也可以唯一对应一种状态。因此，判断两个状态结点cur和nst是否为同一种状态，只需判断 hash(cur.board)和hash(nst.board)是否相等即可，无需对两个格局数组的每个元素进行交互比较。
为保存状态空间，定义三个全局数据：
char visited[maxn]; // visited[i]=1表示状态i被访问过；为0，表示未被访问
int parent[maxn]; // parent[i]=k 表示状态结点i是由结点k扩展来的
char move[maxn]; // move[i]=d 表示状态结点i是由结点k按照方式d扩展来的
3）结点扩展规则
棋子向空格移动实际上是空格向相反方向移动。设空格当前位置是cur.space ，则结点cur的扩展规则为：
空格向上移动，cur.space=cur.space-3；空格向左移动，cur.space=cur.space-1；空格向右移动，cur.space=cur.space+1；空格向下移动，cur.space=cur.space+3。
设向上移动k=0、向左移动k=1、向右移动k=2、向下移动k=3，则上述规则可归纳为一条：空格移动后的位置为cur.space=cur.space-5+2*(k+1)。为此，定义一个数组
const char md[4] = {'u', 'l', 'r', 'd'};
表示这四种移动方向。
空格的位置cur.space<3，不能上移；空格的位置cur.space>5，不能下移；空格的位置cur.space是3的倍数，不能左移；空格的位置cur.space+1是3的倍数，不能右移。
4）搜索策略
将初始状态start放入队列中，求出start对应的hash值k = hash(start.board)，并置 parent[k] = -1、visited[k] = 1。
① 从队列头取一个结点，按照向上、向左、向右和向下的顺序，检查移动空格后是否可以产生新的状态nst。
② 如果移动空格后有新状态产生，则检查新状态nst是否已在队列中出现过（visited[hash(nst.board)]== 1），是则放弃，返回①。
③ 如果新状态nst未在队列中出现过，就将它加入队列，再检查新状态是否目标状态（hash(nst.board)==0），如果是，则找到解，搜索结束；否则返回①。
（2）源程序1。
#include<iostream>
#include<queue>
using namespace std;
struct node{
char board[9];
char space; // 空格所在位置
};
const int maxn = 362880;
int fact[]={ 1, 1,2,6,24,120,720,5040,40320};
// 对应 0！,1！,2！,3！,4！,5！,6！,7！,8！
int hash(const char *s)
// 把1..9的排列*s 映射为数字 0..(9!-1)
{
int i, j, temp, num;
num = 0;
for (i = 0; i < 9-1; i++)
{
temp = 0;
for (j = i + 1; j < 9; j++)
{
if (s[j] < s[i])
temp++;
}
num += fact[9-i-1] * temp;
}
return num;
}
char visited[maxn];
int parent[maxn];
char move[maxn];
const char md[4] = {'u', 'l', 'r', 'd'};
void bfs(const node & start)
{
int k, i;
node cur, nst;
for(k=0; k<maxn; ++k)
visited[k] = 0;
k = hash(start.board);
parent[k] = -1;
visited[k] = 1;
queue <node> que;
que.push(start);
while(!que.empty())
{
cur = que.front();
que.pop();
for(i=0; i<4; ++i)
{
if(!(i==0 && cur.space<3 || i==1 && cur.space%3==0 || i==2 && cur.space%3==2 ||i==3 && cur.space>5))
{
nst = cur;
nst.space = cur.space-5+2*(i+1);
nst.board[cur.space]=nst.board[nst.space];
nst.board[nst.space]=9;
k = hash(nst.board);
if(visited[k] != 1)
{
move[k] = i;
visited[k] = 1;
parent[k] = hash(cur.board);
if(k == 0) //目标结点hash值为0
return;
que.push(nst);
}
}
}
}
}
void print_path()
{
int n, u;
char path[1000];
n = 1;
path[0] = move[0];
u = parent[0];
while(parent[u] != -1)
{
path[n] = move[u];
++n;
u = parent[u];
}
for(int i=n-1; i>=0; --i)
{
cout<<md[path[i]];
}
cout<<endl;
}
int main()
{
node start;
char ch;
int i;
for(i=0; i<9; ++i)
{
cin>>ch;
if(ch == 'x')
{
start.board[i] = 9;
start.space = i;
}
else
start.board[i] = ch - '0';
}
for (i = 0; start.board[i] == i+1 && i < 9; ++i) ;
if (i == 9) cout<<endl;
else
{
bfs(start);
if(visited[0] == 1)
print_path();
else
cout<<"unsolvable"<<endl;
}
return 0;
}
将上面的源程序提交给poj系统，系统显示的评测结果是：accept，memory为3844k、time为 782ms。
（3）编程思路2。
状态空间的表示、结点的扩展规则与编程思路1中的方法基本相同。但结点稍作修改，定义为： struct state { char a[n]; }; 不再定义空格的位置，并且程序中空格用“0”表示。对于某一当前状态cur，执行一个循环 for (i = 0; cur.a[i] && i < n; ++i) ;后，就可以确定空格位置 space=i。
定义全局数组 state q[maxn+1]来作为一个队列使用，全局数组char vis[maxn]来表示状态结点是否被访问，其中vis[i]=0，表示状态i未被访问过；vis[i]=1，表示状态i是正向扩展（从初始状态开始）来访问过的；vis[i]=2，表示状态i是反向扩展（从目标状态开始）来访问过的。全局数组foot p[maxn]用来存储访问过的每种状态的访问足迹， 其中，p[nt].k = ct表示状态nt是由状态结点ct扩展来的，p[nt].d = i（i为0~3之一）表示状态nt是由状态结点ct按方式i扩展来的。
用front和rear变量指示队列的队头和队尾。初始化时，初始状态start和目标状态goal均入队。
q[front = 1] = start;
q[rear = 2] = goal;
vis[hash(start)] = 1; // 1 代表正向
vis[hash(goal)] = 2; // 2 代表反向
（4）源程序2。
#include <iostream>
using namespace std;
# define n 9
# define maxn 362880
struct foot { int k; char d;};
struct state { char a[n]; };
const char md[4] = {'u', 'l', 'r', 'd'};
const int fact[9] = {1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 720*7, 720*56};
state q[maxn+1];
char vis[maxn];
foot p[maxn];
int hash(state s)
// 把状态s中的0..8的排列映射为数字 0..(9!-1)
{
int i, j, temp, num;
num = 0;
for (i = 0; i < 9-1; i++)
{
temp = 0;
for (j = i + 1; j < 9; j++)
{
if (s.a[j] < s.a[i])
temp++;
}
num += fact[8-i] * temp;
}
return num;
}
void print_path(int x, char f)
{
if (p[x].k == 0) return ;
if (f) cout<< md[3-p[x].d];
print_path(p[x].k, f);
if (!f) cout<< md[p[x].d];
}
void bfs(state start, state goal)
{
char t;
state cur, nst;
int front, rear, i;
int space, ct, nt;
q[front = 1] = start;
q[rear = 2] = goal;
vis[hash(start)] = 1; // 1 代表正向
vis[hash(goal)] = 2; // 2 代表反向
while (front <= rear)
{
cur = q[front++];
ct = hash(cur);
for (i = 0; cur.a[i] && i < n; ++i) ;
space=i;
for (i = 0; i < 4; ++i)
{
if(!(i==0 && space<3 || i==1 && space%3==0 || i==2 && space%3==2 ||i==3 && space>5))
{
nst = cur;
nst.a[space] = cur.a[space-5+2*(i+1)];
nst.a[space-5+2*(i+1)] = 0;
nt = hash(nst);
if (!vis[nt])
{
q[++rear] = nst;
p[nt].k = ct;
p[nt].d = i;
vis[nt] = vis[ct];
}
else if (vis[ct] != vis[nt])
{
t = (vis[ct]==1 ? 1:0);
print_path(t ? ct:nt, 0);
cout<< md[t ? i:3-i];
print_path(t ? nt:ct, 1);
cout<<endl;
return ;
}
}
}
}
cout<<"unsolvable"<<endl;
}
int main()
{
char i, ch;
state start, goal;
for (i = 0; i < n; ++i)
{
cin>>ch;
start.a[i] = (ch=='x' ? 0:ch-'0');
}
goal.a[8] = 0;
for (i = 0; i < n-1; ++i)
goal.a[i] = i + 1;
for (i = 0; start.a[i] == goal.a[i] && i < n; ++i) ;
if (i == n)
cout<<endl;
else
bfs(start, goal);
return 0;
}
将上面的源程序提交给poj系统，系统显示的评测结果是：accept，memory为3420k、time为 16ms 。从系统返回的评测结果看，采用双向广度优先搜索算法，搜索效率大幅提高。
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