机器学习笔记（五）---- 决策树
-- 基本概念
决策树是一种非常常见的机器学习算法，采用的是自顶向下的递归方法，利用信息熵为基本度量构造一颗熵值下降最快的树，理想情况下到叶子节点的熵值为零，对应每个叶子节点的实例都属于同一类。叶子节点对应于决策结果，节点则对应一个属性测试。相比于线性模型，树形模型更接近于人的思维方式，可以产生可视化的分类规则，产生的模型具有比较强的可解释性。
决策树的节点，也就是属性是怎么划分的呢，先要了解几个基本概念：
信息熵：度量样本集合纯度最常用的指标，当前数据集中第k类样本所占比例为Pk，计算公式如下，Ent（D）越小，则数据纯度越高。
信息增益：计算公式如下，a是离散属性，有V个可能的取值，|Dv|/|D|是第V个属性的权重。信息增益越大，意味着使用属性a来进行划分所获得的数据纯度越大。需要注意的是，对于某一类属性，如果可取值数目较多时，信息增益会越大。
信息增益率：与信息增益相反，属性的可取数目较少时，信息增益率更大，其中IV(a)称为属性a的固有值，属性a的可能数目越多（V越大），则IV(a)越大，则信息增益率则越小。
基尼指数：反映了从数据集中随机抽取两个样本，其类别标记不一致的概率，越小表示数据纯度越高。
-- 算法介绍
信息增益、增益率、基尼指数都是决策树划分属性的纯度度量方法，根据不同的方法，就衍生出3种不同的决策树算法：
1、ID3算法：以信息增益为准则来选择划分属性，选择划分后信息增益最大的属性进行划分，这种算法对属性可取数目较多时有偏好。
2、C4.5算法：选择具有最大增益率的属性作为划分属性，具体做法是先从候选划分属性中找到信息增益高于平均水平的属性，再从中选择增益率最高的作为划分属性。
3、CART算法：选择划分后基尼指数最小的属性最为最优划分属性。
几种算法的比较：
ID3属于比较早期的决策树算法，倾向于选择属性划分比较多的作为分裂属性，可能会导致生成一个水平节点庞大但深度浅的树；输入变量必须是离散值，并且无法处理空值。
C4.5对ID3做了一些改进，结合信息增益和增益率来选择分裂属性，避免了ID3中倾向于选择取值较多属性的问题，并且可以处理连续值。
CART既可以创建分类树，也可以创建回归树。分类树中，CART树是一个二叉树，所以不适合用于离散属性取值大于2的情况，对于连续值的处理和C4.5算法基本相同。
-- 决策树生成示例
这个例子是西瓜书上的，比较好理解，有一份描述西瓜是好瓜还是坏瓜的数据集，共有17个样本，每条数据有6个属性，数据集如下：
（1）以ID3算法为例生成决策树，先计算各个属性划分后的信息增益：
（2）发现“纹理”属性的信息增益最大，则选择它作为分裂属性，得到下列图：
（3）接着对每个分支再进行分裂，以第一个分支为例，对属性继续计算信息增益，发现“根蒂”、“脐部”、“触感”3个属性的信息增益一样，可以随机选择一个继续分裂。
（4）图中{“根蒂=蜷缩”}这个节点已经全部是好瓜类型，则不需要继续分裂，递归返回
（5）针对每一个节点递归应用上面的分裂方法，最后得到一个完整决策树：
-- 剪枝处理
决策树分支过多，太庞大的话容易导致过拟合，可以通过“剪枝（pruning）”的方法来降低过拟合风险。剪枝的基本策略分为“预剪枝”和“后剪枝”。
预剪枝：在决策树生成过程中，对每个节点在分裂前进行估计，若当前节点的划分不能带来决策树泛化性能提升，则停止分裂，并将当前节点标记为叶节点并返回。下图是针对西瓜数据集的预剪枝处理，可以发现比原决策树精简了很多。
后剪枝：先通过算法生成一棵完整的决策树，然后自底向上的对非叶节点进行考察，若将该节点对应的子树替换为叶节点能带来决策树泛化能力的提升，则将该子树替换为叶节点。下图是针对西瓜数据集的后剪枝处理。
从上面预剪枝和后剪枝的例子看，一般情况下后剪枝比预剪枝保留了更多的分支，后剪枝的泛化性能一般更优，欠拟合风险更小；但由于后剪枝是自底向上对各节点进行考察，其训练时间及开销比预剪枝更大。
-- 特征连续值处理
特征属性如果是连续值的话，可取值数目是无限的，不能按照离散值那样通过可取值数目来进行节点划分，最常用的办法是二分法。
数据集D和连续值属性a，假设a在D中出现了n个不同的取值，先把这些值从小到大排序，可以考察包含n-1个候选划分点集合：
即把每两个取值点的中位点作为候选划分点，然后计算每个划分点之后的信息增益，选取信息增益最大的划分点进行分裂，也就是需找使Gain（D，a，t）最大的划分点。
-- sklearn决策树可视化
sklearn其实已经将模型封装得非常好，上面提到的很多细节都已经被屏蔽了，通过模型参数可以对其进行调节，以鸢尾花数据集为例，学习使用下决策树模型。
"criterion"参数填写“entropy”表示采用C4.5算法，“gini”表示采用CART算法
from sklearn import datasets
from sklearn.cross_validation import train_test_split
from sklearn.metrics import accuracy_score
from sklearn import tree
from sklearn.externals.six import StringIO
import pydotplus
data_iris = datasets.load_iris()
x, y = data_iris.data, data_iris.target
x_train, x_test, y_train, y_test = train_test_split(x, y, test_size = 0.3,random_state = 0)
# 通过C4.5算法决策树模型进行预测
model = tree.DecisionTreeClassifier(criterion="entropy")
model.fit(x_train, y_train)
y_pred = model.predict(x_test)
print(accuracy_score(y_test, y_pred))
# 决策树可视化
dot_data = StringIO()
tree.export_graphviz(model,out_file = dot_data,
feature_names=data_iris.feature_names,
class_names=data_iris.target_names,
filled=True,rounded=True,special_characters=True)
graph = pydotplus.graph_from_dot_data(dot_data.getvalue())
graph.write_pdf("Tree.pdf")生成的决策树可视化图如下：
这个决策树可视化图信息比较完整，以顶层的3个节点为例看看决策树是怎么分生成的：
节点1（根节点）：一共有105个样本（samples=105），3种鸢尾花类别的分布情况value=[34,32,39]；通过二分法找出划分点是petal width <=0.75,，信息增益为1.58；如果在此节点停止分裂，则在这个节点上的数据都会被判定为"virginica"类别（class=virginica，以当前数目最多的类别为准）。
节点2：petal width<=0.75的样本都被分到这个节点，样本数为34，信息增益为0，说明该节点数据已经“纯净”，value=[34,0,0]，该数据集所有数据都属于类别“setosa”，停止分裂。
节点3：petal width>0.75的样本被分到这个节点，样本数为71；通过二分法找到的划分点是 petal length<=4.95，信息增益为0.993，如果在此节点停止分裂则在此节点的数据都被判定为“virginica”类别。
节点n：...... 自顶向下，完成整个决策树的分裂。
通过完整的决策树可以发现，所有的叶子节点的数据都是“纯净”的，但在很多时候，特别是数据量大，类别较多的情况下，如果要做到每个叶子节点数据都“纯净”的话，整个决策树非常复杂，开销太大，所以一般会对数据“纯净”相关的参数例如信息增益、基尼系数等做限制，在小于某个阈值之后就不再分裂了，在DecisionTreeClassifier分类器中是通过"min_impurity_split"参数限制的。
作者：华为云专家周捷