C语言程序设计100例之（15）：除法算式

例15   除法算式

问题描述

输入正整数n（2≤n≤68），按从小到大输出所有形如abcde/fghi=n的表达式。其中a~i为1~9的一个排列。

输入格式

每行为一个正整数n (n <= 1500)，输入n=0结束。

输出格式

输出满足条件的所有形如abcde/fghi=n的表达式，每个表达式占一行，具体格式参见输出样例。

输入样例

4

20

62

0

输出样例

15768/3942=4

17568/4392=4

23184/5796=4

31824/7956=4

no solution!

79546/1283=62

94736/1528=62

（1）编程思路。

本例需要先确定好穷举的思路。虽然题目说a~i为1~9的一个排列，但穷举1~9的所有排列显然没有必要。

可以穷举除数fghi，这是一个4位数，最小可为1234，最大可为9876，然后按fghi*n计算出abcde，最后判断这9个数字是否不相同。

为判断9个数字是否相同，可以定义一个数组flag[10]，其中flag[i]的值表示数字i在算式中出现的次数，显然flag[1]~flag[9]的值全为1才满足要求。

另外，在穷举时进行适当优化。若计算出abcde小于12345，显然除数fghi太小，直接增大除数进行下次穷举；若计算出abcde大于98765，显然除数fghi太大，不再可能找到解，直接退出穷举循环。

（2）源程序。

#include <stdio.h>

int main()

{

    int n,x,y,i,flag[10],t;

    while (scanf("%d",&n) && n!=0)

    {

        t=0;

        for (y=1234;y<=9876;y++)

        {

            x=y*n;

            if (x<12345) continue;

            if (x>98765) break;

            for (i=0;i<10;i++)

               flag[i]=0;

            flag[x/10000]++; flag[x%10000/1000]++;

            flag[x%1000/100]++; flag[x%100/10]++;

            flag[x%10]++;

            flag[y/1000]++; flag[y%1000/100]++;

            flag[y%100/10]++; flag[y%10]++;

            for (i=1;i<10;i++)

                if (flag[i]!=1) break;

            if (i==10)

            {

                printf("%d/%d=%d\n",x,y,n);

                t++;

            }

        }

        if (t==0) printf("no solution!\n");

    }

    return 0;

}

习题15

15-1  完美立方

问题描述

a³ +b³ + c³ = d³为完美立方等式。例如1³ + 6³ + 8³ =9³。编写一个程序，输出100以内的所有四元组（a, b, c, d），使得a³ +b³ + c³ = d³，其中1≤a< b< c< d≤100。

输入格式

无输入

输出格式

100以内所有满足a³ +b³ + c³ = d³的四元组（a, b, c, d），每行输出5组。

输入样例

无输入

输出样例

(  3,  4,  5,  6)  ( 1, 6,  8,  9)  ( 6,  8, 10, 12)  (  2, 12, 16, 18)  (  9, 12, 15, 18)

(  3,  10, 18, 19)  ( 7, 14, 17, 20)  ( 12, 16, 20, 24)  (  4, 17, 22, 25)  (  3, 18, 24, 27)

……

（1）编程思路。

因为要求100以内所有满足a³ +b³ + c³ = d³的四元组（a, b, c, d），因此先定义一个数组int cube[101];，且cube[i]的值赋i³，以便于后面直接引用。

从d出发进行穷举，则穷举范围为

6≤d≤100

1≤a≤d-3

a+1≤b≤d-2

b+1≤c≤d-1

（2）源程序。

#include <stdio.h>

int main()

{

    int  i, a, b, c, d,cnt=0;

    int cube[101];

    for (i=1 ; i<=100; i++)

       cube[i]=i*i*i;

    for (d=6 ; d<=100; d++)

       for (a=1; a<d-2; a++ )

       {

          if (cube[d] <cube[a]+cube[a+1]+cube[a+2]) break;  // 没必要继续搜索b 和c

          for (b=a+1 ; b<d-1; b++)

          {

              if (cube[d] <cube[a]+cube[b]+cube[b+1])  break; //  没必要继续搜索c

              for (c=b+1; c<d;  c++)

                 if (cube[d]==cube[a]+cube[b]+cube[c])

                  {

                                cnt++;

                                printf("(%3d,%3d,%3d,%3d)  ",a,b,c,d);

                                if (cnt%5==0) printf("\n");

                  }

         }

    }

    return 0;

}

15-2  分数拆分

问题描述

输入正整数k，找到所有的正整数x≥y，使得1/k=1/x+1/y。

输入格式

输入包含多组测试数据，每组为一行，一个正整数k。

输出格式

对每组数据先输出解的个数，然后输出全部的解，没个解占一行。具体格式参见输出样例。

输入样例

2

12

输出样例

2

1/2=1/6+1/3

1/2=1/4+1/4

8

1/12=1/156+1/13

1/12=1/84+1/14

1/12=1/60+1/15

1/12=1/48+1/16

1/12=1/36+1/18

1/12=1/30+1/20

1/12=1/28+1/21

1/12=1/24+1/24

（1）编程思路。

乍一看穷举的范围好像无法确定，但由于x≥y， 有1/x≤1/y，

因此由1/k=1/x+1/y 可知  1/y =1/k-1/x≥1/k-1/y， 故 2/y≥1/k  即y≤2k。当然y≥k+1。这样只要在k+1~2k范围之内穷举y，然后根据y尝试计算出x即可。

（2）源程序1。

#include <stdio.h>

int main()

{

    int k;

    while (scanf("%d",&k)!=eof)

    {

        int x,y,cnt=0;

        for (y=k+1;y<=2*k;y++)

        {

            if(k*y%(y-k)==0)

            {

                cnt++;

            }

        }

        printf("%d\n",cnt);

        for (y=k+1;y<=2*k;y++)

        {

            if(k*y%(y-k)==0)

            {

                x=k*y/(y-k);

                printf("1/%d=1/%d+1/%d\n",k,x,y);

            }

        }

    }

    return 0;

}

       （3）源程序2。

        在源程序1中，穷举的循环进行了两次，一次用循环求出解的个数，另一次用循环输出各个解的情况。显然，可以在用循环求解的个数时用数组将求得的解的情况保存下来，这样就不用再次循环求解，直接输出用数组保存的解的情况即可。

#include <stdio.h>

int main()

{

    int k;

    while (scanf("%d",&k)!=eof)

    {

        int cnt=0;

        int t;

        int x[2*k],y[2*k];

        for (t=k+1;t<=2*k;t++)

        {

            if(k*t%(t-k)==0)

            {

                x[cnt]=k*t/(t-k);

                y[cnt]=t;

                cnt++;

            }

        }

        printf("%d\n",cnt);

        for (t=0;t<cnt;t++)

        {

            printf("1/%d=1/%d+1/%d\n",k,x[t],y[t]);

        }

    }

    return 0;

}

        注意：在上面的源程序2中，x和y数组是定义的可变长数组，现在的c标准支持这样的用法。

15-3  一数三平方

问题描述

有一类六位数，不仅它本身是平方数，而且它的前三位与后三位也都是平方数，这类数称为“一数三平方数”。

输入格式

无输入

输出格式

输出所有的一数三平方数。每行输出一个一数三平方数，具体格式参见输出样例。

输入样例

无输入

输出样例

144400 : 12*12=144,20*20=400,380*380=144400

225625 : 15*15=225,25*25=625,475*475=225625

……

  （1）编程思路。

如果程序对所有的六位数（100000~999999）进行穷举，判断这个六位数是否是一数三平方，显然比较麻烦。

由于一个“一数三平方”数，其前三位与后三位一定都是平方数，因此，可以先求出999以内的所有的平方数，最多只有32个（即0的平方~31的平方，32的平方1024超过了3位）。定义一个数组int a[32]来保存这32个平方数。

程序中对这32个平方数两两组成的六位数进行穷举判断，显然高三位必须为数组中a[10]（即不小于10的平方100的数首位才不为0）之后的平方数。算法描述为：

         for(i=10;i<=31;i++)

                   for(j=0;j<=31;j++)

                   {

                            c=1000*a[i] +a[j];              // a[i]作为高三位、a[j]作为低三位构成六位数

                            if( c是平方数)

                                 输出相应信息并计数

                   }

       （2）源程序。

#include <stdio.h>

#include <math.h>

int main()

{

         int a[32],i,j;

         long b,c,t;

         for(i=0;i<=31;i++)              // 统计出从0到999之内的所有平方数

                   a[i]=i*i;

         for(i=10;i<=31;i++)

         {

                   b=1000*a[i];                                /*高三位数*/

                   for(j=0;j<=31;j++)

                   {

                            c=b+a[j];                              /*六位数*/

                            t=sqrt(c);                             /*六位数开方*/

                            if(c==t*t)                             /*判断六位数是否为平方数*/

                            {

                                     printf("%d : %d*%d=%d,%d*%d=%d,%d*%d=%d\n",c,i,i,a[i],j,j,a[j],t,t,c);

                            }

                   }

         }

    return 0;

}