正数数组的最小不可组成和问题

问题描述：

• 给定一个正数数组arr， 其中所有的值都为整数， 以下是最小不可组成和的概念：把arr每个子集内的所有元素加起来会出现很多值， 其中最小的记为
  min， 最大的记为max。在区间[min,max]上， 如果有数不可以被arr某一个子集相加得到， 那么其中最小的那个数是arr的最小不可组成和。在区间[min,max]上， 如果所有的数都可以被arr的某一个子集相加得到， 那么max+1是arr的最小不可组成和。请写函数返回正数数组arr的最小不可组成和。
• 例子：arr=[3,2,5]。 子集{2}相加产生2为min， 子集{3,2,5}相加产生10 max。 在区间[2,10]上， 4、 6和9不能被任何子集相加得到， 其中4是arr的最小不可组成和。arr=[1,2,4]。 子集{1}相加产生1为min， 子集{1,2,4}相加产生7为max。 在区间[1,7]上， 任何数都可以被子集相加得到， 所以8是arr的最小不可组成和。
• 牛客链接
• 进阶问题：
  
  • 如果已知正数数组arr中肯定有1这个数， 是否能更快地得到最小不可组成和？

解题思路

• 第一时间看到这个题，想到了一个经典的DP问题，用某个数组中的数是否能累加成target。该题与那题类似，只不过对从min到max每次都执行一遍该函数，看能否累加出来，显然复杂度过高。
• 该题有三种解法（具体细节参考代码注释）：
  
  • 递归
  • 动态规划（二维数组）
  • 动态规划（压缩矩阵，一维数组）
• 对于进阶问题，可以先对该数组排序，然后用变量range表示用（0~i）位置能累加出的范围。即（1~range）范围内的数全部可以用（0~i）位置上的数累加出来，如数组[1,2,5],起初对于1而言，range为1，向后遍历，对于2而言，2<=range+1,则2对应的range更新为range+arr[i],为3，说明用[1,2]能加出1~3范围上的数。然而对于5，5>range+1,说明用[1,2,5]累加不出(1~range+arr[i] = 8)内的全部元素，因为出现了断层，断点便是range+1（4）处，所以该值便是最小不可组成和。若遍历数组到最后，也没有出现断点，那么此时range便是该数组的累加和，最小不可组成和便是range+1。

经验教训

• dp问题的压缩矩阵问题（具体看代码实现）

代码实现

• 递归方法

/*
     * 法1： 递归方法：
     *  0~i位置上已经完成决策，和为 preSum,决定i位置上的元素要还是不要。
     *  每次面临两个选择，向下不断分支(类似二叉树)，最终决策完成。将最终的和加入set中。set中便存储了所有可能的子序列累加和。
     *  然后找到min与max,从中遍历，查找是否在set中。
     */
    public static int unformedSum1(int[] arr) {
        if (arr == null || arr.length == 0) {
            return 1;
        }
        HashSet<Integer> set = new HashSet<>();
        int min = Integer.MAX_VALUE;
        int max = 0;
        for (int i = 0;i < arr.length;i++) {
            min = Math.min(min, arr[i]);
            max += arr[i];
        }
        process(arr,0,0,set);
        for (int num = min + 1; num <= max; num++) {
            if (! set.contains(num)) {
                return num;
            }
        }
        return max + 1;

    }

    public static void process(int[] arr,int i,int preSum,HashSet<Integer> set) {
        //决策结束，把决策累加的和加入set中
        if (i == arr.length) {
            set.add(preSum);
            return;
        }
        //不要当前元素
        process(arr,i+1,preSum,set);
        //要当前元素
        process(arr,i+1,preSum + arr[i],set);
    }

• 动态规划（二维数组）

/*
     * 法2：动态规划(未压缩矩阵,二维数组)：
     *  dp[i][j]表示arr[0~i]*选择，看能否累加出j,所以i的取值范围为0~arr.length-1,j取值范围为0~max
     *  注意和str1有多少个字序列等于str2那一道题的dp方法区分，因为那一道题要考虑空串的情况，该题不用，当然，也可以考虑。
     *  依赖关系：dp[row][col] = dp[row-1][col]||dp[row-1][col-arr[row]]
     *  注意这种依赖关系，先填好第一行，第一列，然后从上到下，从左到右填满整个数组
     */
    public static int unformedSum2(int[] arr) {
        if (arr == null || arr.length == 0) {
            return 1;
        }
        int min = Integer.MAX_VALUE;
        int max = 0;
        for (int i = 0;i < arr.length;i++) {
            min = Math.min(min, arr[i]);
            max += arr[i];
        }
        boolean[][] dp = new boolean[arr.length][max+1];
        //初始化第一行，第一行除了dp[0][0],dp[0][arr[0]],其他都是false,
        dp[0][arr[0]] = true;
        //初始化第一列，当然，第一列不初始化也可以
        for (int row = 0; row < dp.length; row++) {
            dp[row][0] = true;
        }
        //根据依赖关系，填好其他位置，并注意判断越界问题
        for (int row = 1; row < dp.length; row++) {
            for (int col = 1; col < dp[0].length; col++) {
                if (col - arr[row] >= 0) {
                    dp[row][col] = dp[row-1][col]||dp[row-1][col-arr[row]];
                }else {
                    dp[row][col] = dp[row-1][col];
                }
            }
        }
        for (int num = min + 1; num <= max; num++) {
            if (! dp[dp.length - 1][num]) {
                return num;
            }
        }
        return max + 1;

    }

• 动态规划（一维数组）

/*
     * 法3：动态规划(压缩矩阵,一维数组)
     *  观察依赖关系，只是上下行的关系，第i行元素的值只依赖上一行的值，并且最终要求的是最后一行的值，此时前面所有的行便没有作用。
     * 所以可以只用一行来保存当前值,即假设上一行元素为dp[],那么计算当前行时，直接用该数组，但是这样会引起一个问题，以怎么的顺序
     * 更新该行，原则便是如果旧的dp[i]还有用，一定不能用新值覆盖旧值，填入新的dp[i]时，一定确保旧的dp[i]已经没有用处了。
     *  
     */
    public static int unformedSum3(int[] arr) {
        if (arr == null || arr.length == 0) {
            return 1;
        }
        int min = Integer.MAX_VALUE;
        int max = 0;
        for (int i = 0;i < arr.length;i++) {
            min = Math.min(min, arr[i]);
            max += arr[i];
        }
        boolean[] dp = new boolean[max + 1];
        //初始化
        dp[0] = true;
        dp[arr[0]] = true;
        //还需要决策 arr.length - 1 次
        for (int i = 1;i < arr.length; i++) {
            //对于第i个字符，选择要还是不要
            for (int col = dp.length - 1; col-arr[i] >= 0; col--) {
                dp[col] = dp[col - arr[i]] ? true : dp[col];
            }
            //等同于下列代码
            /*for (int col = dp.length; col >= 0;col--) {
                if (col - arr[i] >= 0) {
                    dp[col] = dp[col - arr[i]]||dp[col];
                }else {
                    dp[col] = dp[col];
                }
            }*/
        }
        for (int num = min + 1; num <= max; num++) {
            if(! dp[num]) {
                return num;
            }
        }
        return max + 1;
    }

• 进阶问题

/*
     * 解决进阶问题：
     */
    public static int unformedSum4(int[] arr) {
        if (arr == null || arr.length == 0) {
            return 1;
        }
        Arrays.sort(arr);
        int range = 1;
        for (int i = 1; i < arr.length; i++) {
            if (arr[i] <= range + 1) {
                range = range + arr[i];
            }else {
                return range + 1;
            }
        }
        return range + 1;
    }