李航《统计学习方法》第十章——用Python实现隐马尔科夫模型

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隐马尔科夫模型有3个基本问题：
1. 概率计算问题（前向算法，后向算法）
2. 学习问题 （Baum-Welch算法）
3. 预测问题 （维特比算法）

我实现了Baum-Welch算法，且该算法也包含了前向算法与后向算法。

Baum-Welch算法

这里先贴上书中的算法

数据集

本来打算试一下用自己写的HMM跑一下中文分词，但很可惜，代码运行的比较慢。
所以改成 模拟 三角波 以及 正弦波

代码

代码已放到Github上，这边也贴出来

# encoding=utf8

import numpy as np
import csv

class HMM(object):
    def __init__(self,N,M):
        self.A = np.zeros((N,N))        # 状态转移概率矩阵
        self.B = np.zeros((N,M))        # 观测概率矩阵
        self.Pi = np.array([1.0/N]*N)   # 初始状态概率矩阵

        self.N = N                      # 可能的状态数
        self.M = M                      # 可能的观测数

    def cal_probality(self, O):
        self.T = len(O)
        self.O = O

        self.forward()
        return sum(self.alpha[self.T-1])

    def forward(self):
        """
        前向算法
        """
        self.alpha = np.zeros((self.T,self.N))

        # 公式 10.15
        for i in range(self.N):
            self.alpha[0][i] = self.Pi[i]*self.B[i][self.O[0]]

        # 公式10.16
        for t in range(1,self.T):
            for i in range(self.N):
                sum = 0
                for j in range(self.N):
                    sum += self.alpha[t-1][j]*self.A[j][i]
                self.alpha[t][i] = sum * self.B[i][self.O[t]]

    def backward(self):
        """
        后向算法
        """
        self.beta = np.zeros((self.T,self.N))

        # 公式10.19
        for i in range(self.N):
            self.beta[self.T-1][i] = 1

        # 公式10.20
        for t in range(self.T-2,-1,-1):
            for i in range(self.N):
                for j in range(self.N):
                    self.beta[t][i] += self.A[i][j]*self.B[j][self.O[t+1]]*self.beta[t+1][j]

    def cal_gamma(self, i, t):
        """
        公式 10.24
        """
        numerator = self.alpha[t][i]*self.beta[t][i]
        denominator = 0

        for j in range(self.N):
            denominator += self.alpha[t][j]*self.beta[t][j]

        return numerator/denominator

    def cal_ksi(self, i, j, t):
        """
        公式 10.26
        """

        numerator = self.alpha[t][i]*self.A[i][j]*self.B[j][self.O[t+1]]*self.beta[t+1][j]
        denominator = 0

        for i in range(self.N):
            for j in range(self.N):
                denominator += self.alpha[t][i]*self.A[i][j]*self.B[j][self.O[t+1]]*self.beta[t+1][j]

        return numerator/denominator

    def init(self):
        """
        随机生成 A，B，Pi
        并保证每行相加等于 1
        """
        import random
        for i in range(self.N):
            randomlist = [random.randint(0,100) for t in range(self.N)]
            Sum = sum(randomlist)
            for j in range(self.N):
                self.A[i][j] = randomlist[j]/Sum

        for i in range(self.N):
            randomlist = [random.randint(0,100) for t in range(self.M)]
            Sum = sum(randomlist)
            for j in range(self.M):
                self.B[i][j] = randomlist[j]/Sum

    def train(self, O, MaxSteps = 100):
        self.T = len(O)
        self.O = O

        # 初始化
        self.init()

        step = 0
        # 递推
        while step<MaxSteps:
            step+=1
            print(step)
            tmp_A = np.zeros((self.N,self.N))
            tmp_B = np.zeros((self.N,self.M))
            tmp_pi = np.array([0.0]*self.N)

            self.forward()
            self.backward()

            # a_{ij}
            for i in range(self.N):
                for j in range(self.N):
                    numerator=0.0
                    denominator=0.0
                    for t in range(self.T-1):
                        numerator += self.cal_ksi(i,j,t)
                        denominator += self.cal_gamma(i,t)
                    tmp_A[i][j] = numerator/denominator

            # b_{jk}
            for j in range(self.N):
                for k in range(self.M):
                    numerator = 0.0
                    denominator = 0.0
                    for t in range(self.T):
                        if k == self.O[t]:
                            numerator += self.cal_gamma(j,t)
                        denominator += self.cal_gamma(j,t)
                    tmp_B[j][k] = numerator / denominator

            # pi_i
            for i in range(self.N):
                tmp_pi[i] = self.cal_gamma(i,0)

            self.A = tmp_A
            self.B = tmp_B
            self.Pi = tmp_pi

    def generate(self, length):
        import random
        I = []

        # start
        ran = random.randint(0,1000)/1000.0
        i = 0
        while self.Pi[i]<ran or self.Pi[i]<0.0001:
            ran -= self.Pi[i]
            i += 1
        I.append(i)

        # 生成状态序列
        for i in range(1,length):
            last = I[-1]
            ran = random.randint(0, 1000) / 1000.0
            i = 0
            while self.A[last][i] < ran or self.A[last][i]<0.0001:
                ran -= self.A[last][i]
                i += 1
            I.append(i)

        # 生成观测序列
        Y = []
        for i in range(length):
            k = 0
            ran = random.randint(0, 1000) / 1000.0
            while self.B[I[i]][k] < ran or self.B[I[i]][k]<0.0001:
                ran -= self.B[I[i]][k]
                k += 1
            Y.append(k)

        return Y



def triangle(length):
    '''
    三角波
    '''
    X = [i for i in range(length)]
    Y = []

    for x in X:
        x = x % 6
        if x <= 3:
            Y.append(x)
        else:
            Y.append(6-x)
    return X,Y



def show_data(x,y):
    import matplotlib.pyplot as plt
    plt.plot(x, y, 'g')
    plt.show()

    return y


if __name__ == '__main__':
    hmm = HMM(10,4)
    tri_x, tri_y = triangle(20)

    hmm.train(tri_y)
    y = hmm.generate(100)
    print(y)
    x = [i for i in range(100)]
    show_data(x,y)

运行结果

三角波

三角波比较简单，我设置N=10，扔进去长度为20的序列，训练100次，下图是其生成的长度为100的序列。
可以看出效果还是很不错的。

正弦波

正弦波有些麻烦，因为观测序列不能太大，所以我设置N=15，M=100，扔进去长度为40的序列，训练100次，训练的非常慢，下图是其生成的长度为100的序列。
可以看出效果一般，如果改成C的代码，并增加N应该是能模拟的。

balabala

隐马尔科夫模型的初值真的非常重要，我曾尝试过每行平均和单位矩阵两种方式，结果100轮迭代后啥都没变，所以最好还是随机初始化。

还有几点细节不是很理解
1. 如果有多个序列如何同时训练？
2. 训练如何停止？我现在的做法是设置一个训练次数上限。